Taux d'approximation de la distance de Wasserstein des mesures de probabilité sur la ligne réelle par des mesures empiriques déterministes.

Résumé On s'intéresse à l'approximation en distance de Wasserstein avec l'indice $\rho\ge 1$ d'une mesure de probabilité $\mu$ sur la droite réelle avec moment fini d'ordre $\rho$ par la mesure empirique de $N$ points déterministes. L'erreur minimale converge vers $0$ comme $N\to+\infty$ et nous cherchons à caractériser l'ordre associé à cette convergence. A part lorsque $\mu$ est une masse de Dirac et que l'erreur disparaît, l'ordre n'est pas plus grand que $1$. Nous donnons une condition nécessaire et une condition suffisante pour que l'ordre soit égal à ce seuil de $1$ en termes de densité de la partie absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue de $\mu$. Nous vérifions également que pour que l'ordre se trouve dans l'intervalle $\left(1/\rho,1\right)$, le support de $\mu$ doit être un intervalle borné, et que, lorsque $\mu$ est supporté de manière compacte, l'ordre n'est pas inférieur à $1/\rho$. Enfin, nous donnons une condition nécessaire et suffisante en termes de queues de $\mu$ pour que l'ordre soit égal à une valeur donnée dans l'intervalle $\left(0,1/\rho\right)$.