Analyse de l'erreur faible et forte pour les approximations particulaires basées sur le rang du champ moyen de la loi de conservation scalaire visqueuse unidimensionnelle.

Résumé Dans cet article, nous analysons le taux de convergence d'un système de $N$ particules en interaction avec un rang de champ moyen basé sur le coefficient de dérive et un coefficient de diffusion constant. Nous adaptons d'abord les arguments de Kolli et Shkolnikhov pour vérifier la propagation trajectoire du chaos avec un taux optimal $N^{-1/2}$ aux équations différentielles stochastiques associées non linéaires au sens de McKean. Nous relaxons ensuite les hypothèses nécessaires à Bossy pour vérifier la convergence dans $L^1(\mathbb{R})$ avec un taux ${\mathcal O}(\frac{1}{\sqrt N} + h)$ de la fonction de distribution cumulative empirique de la discrétisation d'Euler avec un pas $h$ du système de particules vers la solution d'une loi de conservation scalaire visqueuse unidimensionnelle. Enfin, nous prouvons que le biais de cette méthode particulaire stochastique se comporte en ${\mathcal O}(\frac{1}{N} + h)$. Nous fournissons des résultats numériques qui confirment nos estimations théoriques.