La limite du petit bruit des processus de diffusion basés sur les ordres.

Résumé Nous introduisons des processus de diffusion basés sur l'ordre comme solutions d'équations différentielles stochastiques multidimensionnelles, avec un coefficient de dérive dépendant uniquement de l'ordre des coordonnées du processus et une matrice de diffusion proportionnelle à l'identité. Ces processus décrivent l'évolution d'un système de particules browniennes se déplaçant sur la ligne réelle avec des dérives constantes par morceaux, et sont la généralisation naturelle des processus de diffusion basés sur le rang introduits dans la théorie stochastique du portefeuille ou dans l'interprétation probabiliste des équations d'évolution non linéaires. En raison de la discontinuité du coefficient de dérive, les équations différentielles ordinaires correspondantes sont mal posées. Par conséquent, la limite du petit bruit des processus de diffusion basés sur les ordres n'est pas couverte par la théorie classique de Freidlin-Wentzell. La description de cette limite est l'objet de cet article. Nous donnons d'abord une analyse complète du cas à deux particules. Malgré son apparente simplicité, la limite de petit bruit d'un tel système présente déjà des comportements variés. En particulier, en fonction du coefficient de dérive, les particules peuvent soit se coller en un amas dont la vitesse est déterminée par des calculs élémentaires, soit dériver les unes par rapport aux autres à vitesse constante, dans un ordre aléatoire. La persistance du caractère aléatoire dans la limite du bruit nul est de la même nature que dans les travaux pionniers de Veretennikov (Mat. Zametki, 1983) et de Bafico et Baldi (Stochastics, 1981) concernant le phénomène dit de Peano. Dans le cas des processus basés sur les rangs, nous utilisons un simple argument de convexité pour prouver que la limite du petit bruit est décrite par la dynamique des particules collantes introduite par Brenier et Grenier (SIAM J. Numer. Anal., 1998), où les particules se déplacent à vitesse constante entre les collisions, auxquelles elles se collent. Dans le cas général des processus basés sur les ordres, nous donnons une condition suffisante sur la dérive pour que toutes les particules s'agrègent en un seul amas, et calculons la vitesse de cet amas. Notre argument consiste à transformer l'étude de la limite du petit bruit en étude du comportement à long terme d'un processus convenablement remis à l'échelle, puis à exposer une fonctionnelle de Lyapunov pour ce processus remis à l'échelle.