Sur l'interpretation probabiliste de quelques equations aux derivees partielles non lineaires.

Résumé La demarche adoptee dans ce travail de these est la suivante. Considerant une equation d'evolution non lineaire, nous cherchons a lui associer une probabilite p sur un espace de trajectoires telle que : - ou bien les marginales en temps de p possedent par rapport a la mesure de lebesgue en espace des densites qui sont solution faible de l'equation d'evolution - ou bien, dans le cas de la dimension un d'espace, les fonctions de repartition des marginales sont solution faible de l'equation. Une fois la probabilite p obtenue comme l'unique solution d'un probleme de martingales non lineaire, nous construisons un systeme de n particules en interaction probabiliste dont la mesure empirique converge vers p lorsque n tend vers l'infini. Un tel resultat de convergence, appele propagation du chaos, permet d'envisager d'approcher les solutions de l'equation d'evolution en simulant le systeme de particules. Pour l'essentiel, nous traitons suivant ce programme des equations de type parabolique dont l'equation de burgers visqueuse et celle des milieux poreux. Sous p, le processus canonique sur l'espace des trajectoires continues est alors une diffusion non lineaire. Nous nous interessons aussi a une equation cinetique liee aux lois de conservation scalaires et travaillons pour cela sur un espace de trajectoires comportant des sauts. Enfin, nous montrons sur des exemples qu'il n'est pas necessaire de se limiter au cas naturel ou la condition initiale de l'equation d'evolution est une probabilite ou une fonction de repartition de probabilite. Il est possible d'adapter la demarche pour prendre en compte les mesures signees bornees ou leurs fonctions de repartition.