Mise à l'échelle optimale pour la phase transitoire de l'algorithme de la marche aléatoire de Metropolis : La limite du champ moyen.

Résumé Nous considérons l'algorithme de Metropolis de marche aléatoire sur $\R^n$ avec des propositions gaussiennes, et lorsque la probabilité cible est le produit n$ d'une loi unidimensionnelle. Dans la limite $n \to \infty$, il est bien connu que, lorsque la variance de la proposition est inversement proportionnelle à la dimension $n$ alors que le temps est accéléré par le facteur $n$, une limite diffusive est obtenue pour chaque composante de la chaîne de Markov si cette chaîne démarre à l'équilibre. Cet article étend ce résultat lorsque la distribution initiale n'est pas la mesure de probabilité cible. En remarquant que l'interaction entre les composantes de la chaîne due à l'acceptation/rejet commun des mouvements proposés est de type champ moyen, nous obtenons un résultat de propagation du chaos sous la même échelle que dans le cas stationnaire. Cela prouve que, en termes de dimension $n$, la même échelle est valable pour la phase transitoire de l'algorithme de Metropolis-Hastings que pour le cas proche de la stationnarité. La limite de diffusion et de champ moyen de chaque composante est un processus de diffusion non linéaire au sens de McKean. Ceci ouvre la voie à de nouvelles investigations sur le choix optimal de la variance de la distribution de la proposition afin d'accélérer la convergence vers l'équilibre.