Échantillonnage de mesures de probabilité unidimensionnelles dans l'ordre convexe et calcul de limites robustes du prix des options.

Résumé Pour µ et ν deux mesures de probabilité sur la ligne réelle telles que µ est plus petit que ν dans l'ordre convexe, cette propriété n'est en général pas préservée au niveau des mesures empiriques µI = 1 I I i=1 δX i et νJ = 1 J J j=1 δY j , où (Xi) 1≤i≤I (resp. (Yj) 1≤j≤J) sont indépendants et identiquement distribués selon µ (resp. ν). Nous étudions des modifications de µI (resp. νJ) plus petites que νJ (resp. plus grandes que µI) dans l'ordre convexe et convergeant faiblement vers µ (resp. ν) lorsque I, J → ∞. Selon Kertz et Rösler (1992), l'ensemble des mesures de probabilité sur la ligne réelle avec un moment fini du premier ordre est un treillis complet pour les ordres convexes croissant et décroissant. Pour µ et ν dans cet ensemble, cela nous permet de définir une mesure de probabilité µ ∨ ν (resp. µ ∧ ν) supérieure à µ (resp. inférieure à ν) dans l'ordre convexe. Nous donnons des algorithmes efficaces permettant de calculer µ ∨ ν et µ ∧ ν (et donc µI ∨ νJ et µI ∧ νJ) lorsque µ et ν ont des supports finis. Enfin, nous illustrons par des expériences numériques les méthodes d'échantillonnage résultantes qui préservent l'ordre convexe et leur application à des problèmes de transport optimal approximatif de type martingale et en particulier au calcul de bornes robustes de prix d'option.