Propagation du chaos pour les diffusions interactives basées sur le rang et comportement à long terme d'une équation parabolique quasilinéaire scalaire.

Résumé Nous étudions un problème de Cauchy parabolique quasilinéaire avec une fonction de distribution cumulative sur la ligne réelle comme condition initiale. Nous appelons "solution probabiliste" une solution faible qui reste une fonction de distribution cumulative à tout moment. Nous prouvons l'unicité d'une telle solution et nous déduisons son existence d'un résultat de propagation du chaos sur un système de processus de diffusion scalaires, dont les interactions ne dépendent que de leur rang. Nous étudions ensuite le comportement à long terme de la solution. En utilisant un argument probabiliste et sous des hypothèses faibles, nous montrons que le flux de la distance de Wasserstein entre deux solutions est contractif. Sous des conditions plus strictes assurant la régularité des solutions probabilistes, nous dérivons finalement une formule explicite pour la dérivée temporelle du flux et nous déduisons la convergence des solutions vers l'équilibre.