Convergence en variation totale du schéma d'Euler-Maruyama appliqué aux processus de diffusion avec coefficient de dérive mesurable et bruit additif.

Résumé Nous nous intéressons à la discrétisation d'Euler-Maruyama d'une équation différentielle stochastique en dimension $d$ avec coefficient de diffusion constant et coefficient de dérive mesurable borné. Dans ce schéma, une randomisation de la variable temps est utilisée pour s'affranchir de toute hypothèse de régularité de la dérive de cette variable. Nous prouvons la convergence faible avec l'ordre $1/2$ dans la distance de variation totale. Lorsque la dérive a une divergence spatiale dans le sens de distributions avec $\rho$-ième puissance intégrables par rapport à la mesure de Lebesgue dans l'espace uniformément dans le temps pour un certain $\rho \ge d$, l'ordre de convergence au temps terminal s'améliore à $1$ jusqu'à un certain facteur logarithmique. En dimension $d=1$, ce résultat est préservé lorsque la dérivée spatiale de la dérive est une mesure dans l'espace avec une masse totale bornée uniformément dans le temps. Nous confirmons notre analyse théorique par des expériences numériques.