Approximation stochastique par particules de l'équation de Keller-Segel et généralisation bidimensionnelle des processus de Bessel.

Résumé L'équation aux dérivées partielles de Keller-Segel est un modèle bidimensionnel pour la chimiotaxie. Lorsque la masse totale de la densité initiale est égale à un, elle est connue pour présenter un blow-up en temps fini dès que la sensibilité $\chi$ des bactéries au chimio-attractant est supérieure à $8\pi$. Nous étudions son approximation par un système de $N$ particules browniennes bidimensionnelles interagissant par un noyau attractif singulier dans le terme de dérive. Dans le cas très sous-critique $\chi<2\pi$, la diffusion domine fortement cette dérive singulière : nous obtenons l'existence pour le système de particules et prouvons que son flux de mesures empiriques converge, comme $N\to\infty$ et jusqu'à l'extraction d'une sous-séquence, vers une solution faible de l'équation de Keller-Segel. Nous montrons également que pour tout $N\ge 2$ et toute valeur de $\chi>0$, les paires de particules entrent effectivement en collision avec une probabilité positive : la singularité de la dérive est en effet visitée. Néanmoins, lorsque $\chi<2\pi N$, il est possible de contrôler la dérive et d'obtenir l'existence du système de particules jusqu'à la première fois où au moins trois particules entrent en collision. Nous vérifions que ce temps est a.s. infini, de sorte que l'existence globale existe pour le système de particules, si et seulement si $\chi\leq 8\pi(N-2)/(N-1)$. Enfin, nous remarquons que dans le système avec $N=2$ particules, la différence entre les deux positions fournit une généralisation bidimensionnelle naturelle des processus de Bessel, que nous étudions en détail.