Différentiabilité levée et géométrique de la distance quadratique de Wasserstein au carré.

Résumé Dans cet article, nous remarquons que tout couplage optimal pour la distance quadratique de Wasserstein W22(μ,ν) entre deux mesures de probabilité μ et ν avec des moments d'ordre 2 finis sur Rd est la composition d'un couplage martingale avec une carte de transport optimale T. Nous vérifions l'existence d'un couplage optimal dans lequel cette carte donne l'unique couplage optimal entre μ et T#μ. Ensuite, nous prouvons que σ↦W22(σ,ν) est différentiable en μ au sens de Lions~\cite{Lions} et au sens géométrique s'il existe un couplage optimal unique entre μ et ν et que ce couplage est donné par une carte. En outre, nous donnons une preuve auto-contenue que la simple différentiabilité de Fréchet d'une fonction invariante de loi F sur L2(Ω,P.Rd) est suffisante pour que la différentielle de Fréchet en X soit une fonction mesurable de X.