Contribution à l'étude d'équations de propagations de fronts locales et non-locales.

Résumé Ce travail porte sur l’étude de propagations de fronts gouvernées par des lois locales et non-locales. Dans la méthode par lignes de niveau, le front est vu comme ligne de niveau 0 d’une fonction auxiliaire. A la loi géométrique d’évolution du front correspond alors une équation de Hamilton-Jacobi sur cette fonction, que nous envisageons dans le cadre des solutions de viscosité. Dans les modéles non-locaux, la difficulté principale pour prouver des résultats d’existence ou d’unicité est l’absence de principe d’inclusion entre les fronts. Dans la méthode par lignes de niveau, ceci correspond à une absence de principe de comparaison entre les fonctions, qui rend impossible l’utilisation des techniques habituelles. L’utilisation alternative de méthodes de point fixe associe à toute équation non-locale une famille d’équations locales. La compréhension de la régularité des solutions des équations locales, et en particulier du périmètre de leurs lignes de niveau, apparaît alors cruciale dans les arguments de point fixe. Dans le chapitre 1, on prouve des formulations intégrales de l’équation eikonale locale, dont on déduit des estimations sur le périmétre des lignes de niveau de ses solutions. Dans le reste des travaux, on s’intéresse aux équations non-locales, et notamment à une notion de solution faible pour ces équations. Deux modèles non-locaux, la dynamique des dislocations et un système de type Fitzhugh-Nagumo, sont également étudiés en détails. On donne en particulier des résultats d’existence, d’unicité et d’approximation numérique dé solutions faibles.