Estimations des erreurs et taux de convergence pour l'homogénéisation stochastique des équations de Hamilton-Jacobi.

Résumé Nous présentons des estimations d'erreurs exponentielles et démontrons un taux de convergence algébrique pour l'homogénéisation des équations de Hamilton-Jacobi convexes à niveau dans des environnements aléatoires i.i.d., les premiers résultats quantitatifs d'homogénéisation pour ces équations dans le cadre stochastique. En profitant d'une connexion entre l'approche métrique de l'homogénéisation et la théorie de la percolation de premier passage, nous obtenons des estimations sur les fluctuations des solutions du problème de la cellule approximative dans le régime balistique (loin du point plat du hamiltonien effectif). Dans le régime sous-balistique (sur le point plat), nous montrons que les fluctuations sont régies par un mécanisme entièrement différent et que l'homogénéisation peut se dérouler, sans autres hypothèses, à un rythme arbitrairement lent. Nous identifions une condition nécessaire et suffisante sur la loi de l'hamiltonien pour qu'un taux de convergence algébrique tienne dans le régime sous-ballistique et nous montrons, sous cette hypothèse, que les deux taux peuvent être fusionnés pour donner des estimations d'erreur complètes et un taux de convergence algébrique pour l'homogénéisation. Nos méthodes sont nouvelles et très différentes des techniques employées dans le cadre périodique, bien que nous bénéficions de travaux antérieurs sur la percolation de premier passage et l'homogénéisation. Le lien entre le taux d'homogénéisation et le point plat de l'hamiltonien effectif, qui est lié à l'inexistence de correcteurs, est un phénomène purement aléatoire observé ici pour la première fois.