Comportement à long terme de l'équation maîtresse dans la théorie des jeux à champ moyen.

Résumé Les systèmes MFG (Mean Field Game) décrivent les configurations d'équilibre dans les jeux avec une infinité de contrôleurs en interaction. Nous nous intéressons au comportement de ce système lorsque l'horizon devient grand, ou lorsque le facteur d'escompte tend vers 0$. Nous montrons que, dans les deux cas, le comportement asymptotique du système du jeu de champ moyen est fortement lié au comportement en temps long de l'équation dite maître et à la limite d'actualisation de l'équation maître actualisée, respectivement. Les deux équations sont des équations de transport non linéaires dans l'espace des mesures. Nous prouvons l'existence d'une solution à une équation maîtresse ergodique, vers laquelle l'équation maîtresse dépendante du temps converge lorsque l'horizon devient grand, et vers laquelle l'équation maîtresse actualisée converge lorsque le facteur d'actualisation tend vers $0$. Toute l'analyse est basée sur l'obtention de nouvelles estimations pour les taux exponentiels de convergence du système MFG dépendant du temps et du système MFG actualisé.