Écoulements compressibles généralisés et solutions du problème géodésique $$H(\mathrm {div})$$.

Résumé Nous étudions le problème des géodésiques sur le groupe des difféomorphismes d'un domaine M⊂Rd, équipé de la métrique H(div). Les équations géodésiques coïncident avec l'équation de Camassa-Holm lorsque d=1, et représentent une de ses généralisations multidimensionnelles possibles lorsque d>1. Nous proposons une relaxation à la Brenier de ce problème, dans laquelle les solutions sont représentées comme des mesures de probabilité sur l'espace des chemins continus sur le cône sur M. Nous utilisons cette relaxation pour prouver que les géodésiques lisses H(div) minimisent globalement la longueur pour des temps courts. Nous prouvons également qu'il existe un champ de pression unique associé aux solutions de notre relaxation. Enfin, nous proposons un schéma numérique pour construire des solutions généralisées sur le cône et présentons quelques résultats numériques illustrant la relation entre les solutions de Camassa-Holm généralisées et les solutions d'Euler incompressibles.