VIALARD Francois Xavier

Au cours des dernières années, le transport optimal a gagné en popularité en apprentissage automatique comme moyen de comparer des mesures de probabilité. Contrairement aux dissimilarités plus classiques pour les distributions de probabilité, telles que la divergence de Kullback-Leibler, les distances de transport optimal (ou distances de Wasserstein) permettent de comparer des distributions dont les supports sont disjoints en prenant en compte la géométrie de l'espace sous-jacent. Cet avantage est cependant entravé par le fait que ces distances sont généralement calculées en résolvant un programme linéaire, ce qui pose, lorsque l'espace sous-jacent est de grande dimension, des défis statistiques bien documentés et auxquels on se réfère communément sous le nom de ``fléau'' de la dimension. Trouver de nouvelles méthodologies qui puissent atténuer ce problème est donc un enjeu crucial si l'on veut que les algorithmes fondés sur le transport optimal puissent fonctionner en pratique.Au-delà de cet aspect purement métrique, un autre intérêt de la théorie du transport optimal réside en ce qu'elle fournit des outils mathématiques pour étudier des cartes qui peuvent transformer, ou transporter, une mesure en une autre. De telles cartes jouent un rôle de plus en plus important dans divers domaines des sciences (biologie, imagerie cérébrale) ou sous-domaines de l'apprentissage automatique (modèles génératifs, adaptation de domaine), entre autres. Estimer de telles transformations qui soient à la fois optimales et qui puissent être généralisées en dehors des simples données, est un problème ouvert.Dans cette thèse, nous proposons un nouveau cadre d'estimation pour calculer des variantes des distances de Wasserstein. Le but est d'amoindrir les effets de la haute dimension en tirant partie des structures de faible dimension cachées dans les distributions. Cela peut se faire en projetant les mesures sur un sous-espace choisi de telle sorte à maximiser la distance de Wasserstein entre leurs projections. Outre cette nouvelle méthodologie, nous montrons que ce cadre d'étude s'inscrit plus largement dans un lien entre la régularisation des distances de Wasserstein et la robustesse.Dans la contribution suivante, nous partons du même problème d'estimation du transport optimal en grande dimension, mais adoptons une perspective différente : plutôt que de modifier la fonction de coût, nous revenons au point de vue plus fondamental de Monge et proposons d'utiliser le théorème de Brenier et la théorie de la régularité de Caffarelli pour définir une nouvelle procédure d'estimation des cartes de transport lipschitziennes qui soient le gradient d'une fonction fortement convexe.

Les réseaux neuronaux à profondeur continue peuvent être considérés comme des limites profondes des réseaux neuronaux discrets dont la dynamique ressemble à une discrétisation d'une équation différentielle ordinaire (EDO). Bien que des mesures importantes aient été prises pour tirer parti des avantages de ces formulations continues, la plupart des techniques actuelles ne sont pas véritablement à profondeur continue, car elles supposent des couches identiques. En effet, les travaux existants mettent en évidence la myriade de difficultés que présente un espace de paramètres à dimension infinie dans l'apprentissage d'une ODE neuronale à profondeur continue. À cette fin, nous introduisons une formulation de tir qui déplace la perspective de paramétrer un réseau couche par couche à paramétrer sur des réseaux optimaux décrits seulement par un ensemble de conditions initiales. Pour l'extensibilité, nous proposons une nouvelle paramétrisation d'ensemble de particules qui spécifie entièrement la trajectoire de poids optimale du réseau neuronal à profondeur continue. Nos expériences montrent que notre formulation de tir par particules-ensemble peut atteindre des performances compétitives, en particulier sur des tâches de prévision à long terme. Enfin, bien que les travaux actuels soient inspirés par les réseaux neuronaux à profondeur continue, la formulation de tir d'ensemble de particules s'applique également aux réseaux à temps discret et peut conduire à un nouveau domaine de recherche fertile dans la paramétrisation de l'apprentissage profond.

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L’analyse topologique des données (ATD) permet d’extraire une information riche des données structurées (telles que les graphes ou les séries temporelles) présentes dans les problèmes modernes d’apprentissage. Elle va représenter cette information sous forme de descripteurs dont font partie les diagrammes de persistance, qui peuvent être décrits comme des mesures ponctuelles supportées sur un demi-plan. À défaut d’être de simples vecteurs, les diagrammes de persistance peuvent néanmoins être comparés entre eux à l’aide de métriques d’appariement partiel. La similarité entre ces métriques et les métriques usuelles du transport optimal - un autre domaine des mathématiques - est connue de longue date, mais un lien formel entre ces deux domaines restait à établir. L’objet de cette thèse est de clarifier cette connexion pour pouvoir utiliser les nombreux acquis du transport optimal afin de développer de nouveaux outils statistiques (théoriques et pratiques) pour manipuler les diagrammes de persistance. Dans un premier temps, nous montrons comment le transport optimal partiel avec frontière, une variante du transport optimal classique, nous fournit un formalisme qui contient les métriques usuelles de l’ATD. Nous illustrons ensuite les apports bénéfiques de cette reformulation dans différentes situations: étude théorique et algorithme pour l’estimation efficace des barycentres de diagrammes de persistance grâce au transport régularisé, caractérisation des représentations linéaires continues des diagrammes et leur apprentissage via un réseau de neurones versatile, ainsi qu’un résultat de stabilité des moyennes linéaires de diagrammes tirés aléatoirement.

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La distance de Wasserstein au carré est une quantité naturelle pour comparer des distributions de probabilité dans un cadre non paramétrique. Cette quantité est généralement estimée avec l'estimateur plug-in, défini via un problème de transport optimal discret. Ce problème peut être résolu avec une précision de $\epsilon$ en ajoutant une régularisation entropique d'ordre $\epsilon$ et en utilisant par exemple l'algorithme de Sinkhorn. Dans ce travail, nous proposons plutôt de l'estimer avec la divergence de Sinkhorn, qui est également construite sur une régularisation entropique mais inclut des termes de débiasing. Nous montrons que, pour des densités lisses, cet estimateur a une complexité d'échantillonnage comparable mais permet des niveaux de régularisation plus élevés, de l'ordre de $\epsilon^{1/2}$, ce qui conduit à des limites de complexité de calcul améliorées et à une forte accélération en pratique. Notre analyse théorique couvre le cas des densités échantillonnées aléatoirement et des discrétisations déterministes sur des grilles uniformes. Nous proposons et analysons également un estimateur basé sur l'extrapolation de Richardson de la divergence de Sinkhorn qui bénéficie de garanties améliorées en matière de statistique et d'efficacité de calcul, sous une condition de régularité de l'erreur d'approximation, qui est en particulier satisfaite pour les densités gaussiennes. Nous démontrons finalement l'efficacité des estimateurs proposés par des expériences numériques.

Dans cet article, nous montrons comment intégrer les équations dites CH2 dans le flux géodésique de la métrique de Hdiv en 2D, qui, lui-même, peut être intégré dans l'équation d'Euler incompressible d'un collecteur riemannien non compact. La méthode consiste à intégrer l'équation d'Euler incompressible avec un terme potentiel issu de la mécanique classique dans l'équation d'Euler incompressible d'un collecteur et à considérer l'équation CH2 comme un cas particulier de cette équation de dynamique des fluides.

Dans cette note, nous proposons un cadre variationnel dans lequel la minimisation de l'accélération sur le groupe de difféomorphismes doté d'une métrique invariante à droite est bien posée. Il repose sur la contrainte de l'accélération à appartenir à un espace de Sobolev d'ordre supérieur à celui de la métrique afin de gagner en compacité. Elle fournit la garantie théorique de l'existence de minimisateurs qui est obligatoire pour les simulations numériques.

Sur l'espace des densités de probabilité, nous étendons les géodésiques de Wasserstein au cas de l'interpolation d'ordre supérieur telle que l'interpolation par splines cubiques. Après avoir présenté l'extension naturelle des splines cubiques à l'espace de Wasserstein, nous proposons une approche plus simple basée sur la relaxation du problème variationnel sur l'espace des chemins. Nous explorons deux approches numériques différentes, l'une basée sur le transport optimal multi-marginal et la régularisation entropique et l'autre basée sur le transport optimal semi-discret.

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Ces notes contiennent le matériel que j'ai présenté à l'école d'été CEA-EDF-INRIA sur le transport optimal numérique. Ces notes sont, à dessein, écrites à un niveau élémentaire, avec presque aucune connaissance préalable et le style d'écriture est relativement informel. Toutes les méthodes présentées ci-après reposent sur l'optimisation convexe, nous commençons donc par une introduction assez basique à l'analyse et à l'optimisation convexes. Ensuite, nous présentons la régularisation entropique de la formulation de Kantorovich et nous présentons l'algorithme de Sinkhorn, maintenant bien connu, dont la convergence est prouvée dans un cadre continu avec une preuve simple. Nous prouvons le taux de convergence linéaire de cet algorithme par rapport à la métrique de Hilbert. La deuxième méthode numérique que nous présentons utilise la formulation dynamique du transport optimal proposée par Benamou et Brenier, qui peut être résolue par des méthodes d'optimisation convexe non lisse. Nous terminons ce bref cours par un aperçu d'autres formulations dynamiques de problèmes similaires au transport optimal.

Nous étudions le problème des géodésiques sur le groupe des difféomorphismes d'un domaine M⊂Rd, équipé de la métrique H(div). Les équations géodésiques coïncident avec l'équation de Camassa-Holm lorsque d=1, et représentent une de ses généralisations multidimensionnelles possibles lorsque d>1. Nous proposons une relaxation à la Brenier de ce problème, dans laquelle les solutions sont représentées comme des mesures de probabilité sur l'espace des chemins continus sur le cône sur M. Nous utilisons cette relaxation pour prouver que les géodésiques lisses H(div) minimisent globalement la longueur pour des temps courts. Nous prouvons également qu'il existe un champ de pression unique associé aux solutions de notre relaxation. Enfin, nous proposons un schéma numérique pour construire des solutions généralisées sur le cône et présentons quelques résultats numériques illustrant la relation entre les solutions de Camassa-Holm généralisées et les solutions d'Euler incompressibles.

Nous considérons le groupe des difféomorphismes croissants lisses Diff sur l'intervalle unitaire doté de la métrique $H^1$ invariante à droite. Nous calculons la complétion métrique de cet espace qui apparaît comme l'espace des cartes croissantes de l'intervalle unitaire avec des conditions aux limites à $0$ et $1$. Nous calculons l'enveloppe inférieure semi-continue associée au problème variationnel de la géodésique minimisant la longueur. Nous discutons la formulation eulérienne et lagrangienne de cette relaxation et nous montrons que les solutions lisses de l'équation EPDiff minimisent la longueur pour des temps courts.

Nous étudions le problème des géodésiques sur le groupe des difféomorphismes d'un domaine M⊂Rd, équipé de la métrique H(div). Les équations géodésiques coïncident avec l'équation de Camassa-Holm lorsque d=1, et représentent une de ses généralisations multidimensionnelles possibles lorsque d>1. Nous proposons une relaxation à la Brenier de ce problème, dans laquelle les solutions sont représentées comme des mesures de probabilité sur l'espace des chemins continus sur le cône sur M. Nous utilisons cette relaxation pour prouver que les géodésiques lisses H(div) minimisent globalement la longueur pour des temps courts. Nous prouvons également qu'il existe un champ de pression unique associé aux solutions de notre relaxation. Enfin, nous proposons un schéma numérique pour construire des solutions généralisées sur le cône et présentons quelques résultats numériques illustrant la relation entre les solutions de Camassa-Holm généralisées et les solutions d'Euler incompressibles.

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Dans cet article, nous montrons comment intégrer les équations dites CH2 dans le flux géodésique de la métrique de Hdiv en 2D, qui, lui-même, peut être intégré dans l'équation d'Euler incompressible d'un collecteur riemannien non compact. La méthode consiste à intégrer l'équation d'Euler incompressible avec un terme potentiel issu de la mécanique classique dans l'équation d'Euler incompressible d'un collecteur et à considérer l'équation CH2 comme un cas particulier de cette équation de dynamique des fluides.

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Le groupe de difféomorphismes d'un collecteur compact doté de la métrique L^2 agissant sur l'espace des densités de probabilité donne un cadre unifié pour l'équation d'Euler incompressible et la théorie du transport optimal de masse. Récemment, plusieurs auteurs ont étendu le transport optimal à l'espace des mesures positives de Radon où la distance de Wasserstein-Fisher-Rao est une extension naturelle de la distance classique de L^2-Wasserstein. Dans cet article, nous montrons une relation similaire entre ce problème de transport optimal non équilibré et la métrique de Hdiv right-invariante sur le groupe des difféomorphismes, qui correspond à l'équation de Camassa-Holm (CH) en une dimension. Du côté du transport optimal, nous prouvons un théorème de factorisation polaire sur le groupe d'automorphisme des demi-densités. Géométriquement, notre point de vue fournit un encastrement isométrique du groupe de difféomorphismes doté de cette métrique invariante à droite dans le groupe d'automorphismes du faisceau de fibres des demi-densités doté d'une métrique conique de type L^2. Ceci conduit à une nouvelle formulation de l'équation CH (généralisée) comme une équation géodésique sur un sous-groupe isotrope de ce groupe d'automorphismes. Sur S1, les solutions de l'équation CH standard donnent ainsi des solutions particulières de l'équation d'Euler incompressible sur un groupe d'homéomorphismes de R^2 qui préservent une densité radiale qui a une singularité en 0. Une autre application consiste à prouver que les solutions lisses de l'équation d'Euler-Arnold pour la métrique droite invariante de Hdiv sont des géodésiques minimisant la longueur pour des temps suffisamment courts.

La comparaison des distributions de probabilité est un problème fondamental en sciences des données. Les normes et divergences simples, telles que la variation totale et l'entropie relative, ne comparent les densités que de manière ponctuelle et ne parviennent pas à saisir la nature géométrique du problème. En revanche, les écarts moyens maximums (MMD) et les distances de transport optimales (OT) sont deux classes de distances entre les mesures qui tiennent compte de la géométrie de l'espace sous-jacent et mesurent la convergence en droit. Cet article étudie les divergences de Sinkhorn, une famille de divergences géométriques qui interpole entre MMD et OT. En s'appuyant sur une nouvelle notion d'entropie géométrique, nous fournissons des garanties théoriques pour ces divergences : positivité, convexité et métriorisation de la convergence en loi. Sur le plan pratique, nous détaillons un schéma numérique qui permet l'application à grande échelle de ces divergences pour l'apprentissage automatique : sur le GPU, les gradients de la perte de Sinkhorn peuvent être calculés pour des lots d'un million d'échantillons.

Sur l'espace des densités de probabilité, nous étendons les géodésiques de Wasserstein au cas de l'interpolation d'ordre supérieur telle que l'interpolation par splines cubiques. Après avoir présenté l'extension naturelle des splines cubiques à l'espace de Wasserstein, nous proposons une approche plus simple basée sur la relaxation du problème variationnel sur l'espace des chemins. Nous explorons deux approches numériques différentes, l'une basée sur le transport optimal multi-marginal et la régularisation entropique et l'autre basée sur le transport optimal semi-discret.

Le groupe de difféomorphismes d'un collecteur compact doté de la métrique L^2 agissant sur l'espace des densités de probabilité donne un cadre unifié pour l'équation d'Euler incompressible et la théorie du transport optimal de masse. Récemment, plusieurs auteurs ont étendu le transport optimal à l'espace des mesures positives de Radon où la distance de Wasserstein-Fisher-Rao est une extension naturelle de la distance classique de L^2-Wasserstein. Dans cet article, nous montrons une relation similaire entre ce problème de transport optimal non équilibré et la métrique de Hdiv right-invariante sur le groupe des difféomorphismes, qui correspond à l'équation de Camassa-Holm (CH) en une dimension. Du côté du transport optimal, nous prouvons un théorème de factorisation polaire sur le groupe d'automorphisme des demi-densités. Géométriquement, notre point de vue fournit un encastrement isométrique du groupe de difféomorphismes doté de cette métrique invariante à droite dans le groupe d'automorphismes du faisceau de fibres des demi-densités doté d'une métrique conique de type L^2. Ceci conduit à une nouvelle formulation de l'équation CH (généralisée) comme une équation géodésique sur un sous-groupe isotrope de ce groupe d'automorphismes. Sur S1, les solutions de l'équation CH standard donnent ainsi des solutions particulières de l'équation d'Euler incompressible sur un groupe d'homéomorphismes de R^2 qui préservent une densité radiale qui a une singularité en 0. Une autre application consiste à prouver que les solutions lisses de l'équation d'Euler-Arnold pour la métrique droite invariante de Hdiv sont des géodésiques minimisant la longueur pour des temps suffisamment courts.

Dans cette note, nous proposons un cadre variationnel dans lequel la minimisation de l'accélération sur le groupe de difféomorphismes doté d'une métrique invariante à droite est bien posée. Il repose sur la contrainte de l'accélération à appartenir à un espace de Sobolev d'ordre supérieur à celui de la métrique afin de gagner en compacité. Elle fournit la garantie théorique de l'existence de minimisateurs qui est obligatoire pour les simulations numériques.

Cet article présente l'utilisation des méthodes de transport optimal déséquilibré comme mesure de similarité pour le recalage difféomorphique des données d'imagerie. La mesure de similarité est un objet clé des méthodes de recalage difféomorphique qui, avec la régularisation sur la déformation, définit la déformation optimale. Le plus souvent, ces mesures de similarité sont locales ou non locales mais suffisamment simples pour être calculées rapidement. Nous nous appuyons sur les récentes avancées théoriques et numériques en matière de transport optimal pour proposer des mesures de similarité rapides et globales qui peuvent être utilisées sur des surfaces ou des données d'imagerie volumétrique. Cette nouvelle mesure de similarité est calculée à l'aide d'un algorithme rapide de Sinkhorn généralisé. Nous appliquons cette nouvelle métrique dans le cadre du LDDMM sur des données synthétiques et réelles, des faisceaux de fibres et des surfaces et montrons que de meilleurs résultats de correspondance sont obtenus.

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Cet article présente l'utilisation des méthodes de transport optimal déséquilibré comme mesure de similarité pour le recalage difféomorphique des données d'imagerie. La mesure de similarité est un objet clé des méthodes de recalage difféomorphique qui, avec la régularisation sur la déformation, définit la déformation optimale. Le plus souvent, ces mesures de similarité sont locales ou non locales mais suffisamment simples pour être calculées rapidement. Nous nous appuyons sur les récentes avancées théoriques et numériques en matière de transport optimal pour proposer des mesures de similarité rapides et globales qui peuvent être utilisées sur des surfaces ou des données d'imagerie volumétrique. Cette nouvelle mesure de similarité est calculée à l'aide d'un algorithme rapide de Sinkhorn généralisé. Nous appliquons cette nouvelle métrique dans le cadre du LDDMM sur des données synthétiques et réelles, des faisceaux de fibres et des surfaces et montrons que de meilleurs résultats de correspondance sont obtenus.

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Nous étudions un problème variationnel du second ordre sur le groupe des difféomorphismes de l'intervalle [0, 1] doté d'une métrique de Sobolev d'ordre 2 invariante à droite, qui consiste en la minimisation de l'accélération. Nous calculons la relaxation du problème qui fait intervenir la fonctionnelle dite de Fisher-Rao, une fonctionnelle convexe sur l'espace des mesures. Cette relaxation permet de dériver plusieurs conditions d'optimalité et, en particulier, une condition suffisante qui garantit qu'un chemin donné du problème initial est également un minimiseur du problème relaxé. Cette condition suffisante est liée à l'existence d'une solution à une équation de Riccati impliquant l'accélération du chemin.

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Nous étudions les propriétés de complétude des groupes de difféomorphismes de Sobolev Ds(M) dotés de métriques riemanniennes fortes et invariantes à droite lorsque le collecteur sous-jacent M est ℝd ou compact sans limite. Le résultat principal est que pour dim M/2 + 1, le groupe Ds (M) est géodésiquement et métriquement complet avec une carte exponentielle surjective. Nous étendons également ce résultat à ses sous-groupes fermés, en particulier le groupe des difféomorphismes préservant le volume et le groupe des symplectomorphismes. Nous présentons ensuite la connexion entre le groupe des difféomorphismes de Sobolev et le cadre de l'appariement des grandes déformations afin d'appliquer nos résultats à l'appariement des images difféomorphes.

Cet article introduit un nouveau flux de descente du plus fort gradient dans les espaces de Banach. Il étend les travaux antérieurs sur la descente par gradient généralisé, notamment ceux de Charpiat et al. au cadre des métriques de Finsler. Un tel gradient généralisé permet de tenir compte d'un a priori sur les déformations (par exemple, rigide par morceaux) afin de favoriser certaines évolutions spécifiques. Nous définissons une méthode de descente de gradient de Finsler pour minimiser une fonctionnelle définie sur un espace de Banach et nous prouvons un théorème de convergence pour une telle méthode. En particulier, nous montrons que l'utilisation de normes non-hilbertiennes sur les espaces de Banach est utile pour étudier les problèmes d'optimisation non-convexes où la géométrie de l'espace peut jouer un rôle crucial pour éviter les mauvais minima locaux. Nous montrons quelques applications au problème de la correspondance des courbes. En particulier, nous caractérisons les déformations rigides par morceaux sur l'espace des courbes et nous étudions plusieurs modèles pour effectuer une évolution rigide par morceaux des courbes.

Cet article développe une méthode de régression paramétrique d'ordre supérieur sur les difféomorphismes pour la régression d'images. Nous présentons une méthode fondée sur des principes pour définir des courbes avec une accélération non nulle et une secousse non nulle. Ce travail étend les méthodes basées sur les géodésiques qui ont été développées au cours de la dernière décennie pour l'anatomie computationnelle dans le cadre de l'analyse d'images difféomorphes à grandes déformations. Contrairement aux méthodes proposées précédemment pour capturer les changements d'image dans le temps, comme la régression géodésique, la méthode proposée peut capturer des déformations spatio-temporelles plus complexes. Nous adoptons une approche variationnelle qui est régie par une formulation énergétique sous-jacente, qui respecte la géométrie non plane des difféomorphismes. Une telle approche de l'estimation de la courbe à énergie minimale fournit également une analogie physique avec le mouvement des particules sous un champ de force variable. Cela donne lieu à la notion de splines quadratiques, cubiques et cubiques par morceaux sur le collecteur des difféomorphismes. La formulation variationnelle des splines permet également d'utiliser des points de contrôle temporels pour contrôler le comportement des splines. Cela nécessite le développement d'une formulation de tir pour les splines. Les conditions initiales des chemins polynomiaux de tir que nous proposons dans les difféomorphismes sont analogues aux coefficients polynomiaux euclidiens. Nous démontrons expérimentalement l'efficacité de l'utilisation des courbes paramétriques à la fois pour synthétiser des chemins polynomiaux et pour la régression de données d'imagerie. Les performances de la méthode sont comparées à la régression géodésique.

Cet article présente une nouvelle classe de distances de type "transport optimal" entre des mesures de Radon positives arbitraires. Ces distances sont définies par deux formulations alternatives équivalentes : (i) une formulation "dynamique fluide" définissant la distance comme une distance géodésique sur l'espace des mesures (ii) une formulation statique "Kantorovich" où la distance est le minimum d'un programme d'optimisation sur des paires de couplages décrivant le transfert (transport, création et destruction) de masse entre deux mesures. Les deux formulations sont des problèmes d'optimisation convexe, et la possibilité de passer de l'une à l'autre en fonction de l'application visée est une propriété cruciale de nos modèles. La métrique de Wasserstein-Fisher-Rao, récemment introduite indépendamment par [CSPV15, KMV15], présente un intérêt particulier. Définie initialement par une formulation dynamique, elle appartient à cette classe de métriques et bénéficie donc automatiquement d'une formulation statique de Kantorovich. Le passage de l'expression initiale eulérienne de cette métrique à un point de vue lagrangien permet de généraliser la submersion riemannienne d'Otto à ce nouveau cadre, où le groupe de difféomorphismes est remplacé par un produit semi-direct de groupe. Cette submersion riemannienne permet un calcul formel de la courbure sectionnelle de l'espace des densités et la formulation d'un problème de Monge équivalent.

L'approche géométrique du recalage d'images difféomorphes connue sous le nom de grande déformation par cartographie métrique difféomorphe (LDDMM) est basée sur une action gauche des difféomorphismes sur les images, et une métrique invariante à droite sur un groupe de difféomorphismes, généralement définie à l'aide d'un noyau reproducteur. Nous explorons l'utilisation de métriques invariantes à gauche sur des groupes de difféomorphismes, basées sur des noyaux reproducteurs définis dans les coordonnées du corps d'une image source. Cette perspective, que nous appelons Left-LDM, nous permet de considérer des noyaux non isotropes variant dans l'espace, qui peuvent être interprétés comme décrivant une déformabilité variable de l'image source. Nous montrons également une relation simple entre le LDDMM et la nouvelle approche, ce qui implique que les noyaux variant dans l'espace peuvent être interprétés de la même manière dans le LDDMM. Nous concluons par une discussion sur une classe de noyaux qui appliquent une contrainte douce de symétrie miroir, que nous validons par des expériences numériques sur un modèle de cerveau lésé.

Cet article étudie l'espace des courbes planaires $BV^2$ dotées de la métrique de Finsler $BV^2$ sur son espace tangent de champs vectoriels de déplacement. Un tel espace est intéressant pour des applications en traitement d'images et en vision par ordinateur car il permet d'obtenir des courbes régulières par morceaux qui subissent des déformations régulières par morceaux, telles que des articulations. La principale contribution de cet article est la preuve de l'existence d'un plus court chemin entre deux courbes quelconques $BV^2$ pour cette métrique de Finsler. La méthode de preuve s'appuie sur la construction d'une martingale sur un espace satisfaisant la propriété de Radon-Nikodym et sur l'invariance sous reparamétrage de la métrique de Finsler. Cette méthode s'applique plus généralement à des cas similaires tels que l'espace des courbes à métrique $H^k$ pour $k \geq 2$ entier. Lorsque $k \geq 2$ est entier, cet espace a une forte structure riemannienne et est géodésiquement complet. Ainsi, notre résultat montre que la carte exponentielle est surjective, ce qui est complémentaire à la complétude géodésique en dimension infinie. Nous proposons une discrétisation par éléments finis du problème géodésique minimal, et utilisons une méthode de descente de gradient pour calculer un point stationnaire d'une énergie régularisée. Des illustrations numériques montrent la différence qualitative entre les géodésiques $BV^2$ et $H^2$.

L'approche géométrique du recalage d'images difféomorphes connue sous le nom de "grande déformation par cartographie métrique difféomorphe" (LDDMM) est basée sur une action gauche des difféomorphismes sur les images, et une métrique invariante à droite sur un groupe de difféomorphismes, généralement définie à l'aide d'un noyau reproducteur. Nous explorons l'utilisation de métriques invariantes à gauche sur des groupes de difféomorphismes, basées sur des noyaux reproducteurs définis dans les coordonnées du corps d'une image source. Cette perspective, que nous appelons Left-LDM, nous permet de considérer des noyaux non isotropes variant dans l'espace, qui peuvent être interprétés comme décrivant une déformabilité variable de l'image source. Nous montrons également une relation simple entre le LDDMM et la nouvelle approche, ce qui implique que les noyaux variant dans l'espace peuvent être interprétés de la même manière dans le LDDMM. Nous concluons par une discussion sur une classe de noyaux qui appliquent une contrainte douce de symétrie miroir, que nous validons par des expériences numériques sur un modèle de cerveau lésé.

L'atelier "Math in the cabin" a eu lieu à Bad Gastein, dans la période du 16 au 22 juillet 2014. L'objectif de cette semaine était de réunir un groupe de chercheurs aux parcours divers - allant de la géométrie différentielle à l'analyse appliquée des images médicales - pour discuter de questions d'intérêt commun, qui peuvent être vaguement résumées sous le titre "analyse de forme". Ces actes contiennent un résumé des discussions sélectionnées, qui ont eu lieu pendant cette semaine.

Dans le contexte de la maladie d'Alzheimer, deux questions difficiles sont (1) la caractérisation des changements locaux de la forme de l'hippocampe spécifiques à la progression de la maladie et (2) l'identification des patients atteints de déficience cognitive légère susceptibles de se convertir. Dans la littérature, la question (1) est généralement résolue en premier lieu pour détecter les zones potentiellement liées à la maladie. Ces zones sont ensuite considérées comme une entrée pour résoudre (2). Comme alternative à cette stratégie séquentielle, nous étudions l'utilisation d'un modèle de classification utilisant la régression logistique pour traiter les deux questions (1) et (2) simultanément. La classification des patients ne nécessite donc aucune définition a priori des zones hippocampiques les plus représentatives potentiellement liées à la maladie, puisqu'elles sont détectées automatiquement. Nous quantifions d'abord les déformations des hippocampes des patients entre deux points temporels en utilisant le cadre des grandes déformations par difféomorphismes et nous transportons ces déformations vers un modèle commun. Comme on s'attend à ce que les déformations soient structurées dans l'espace, nous effectuons une classification combinant des techniques de perte logistique et de régularisation spatiale, qui n'ont pas été explorées jusqu'à présent dans ce contexte, pour autant que nous le sachions. La principale contribution de cet article est la comparaison de techniques de régularisation imposant aux cartes de coefficients d'être spatialement lisses (Sobolev), constantes par morceaux (variation totale) ou clairsemées (LASSO fusionné) avec des techniques de régularisation standard qui ne tiennent pas compte de la structure spatiale (LASSO, ridge et ElasticNet). Sur un jeu de données de 103 patients de l'ADNI, les techniques utilisant des régularisations spatiales conduisent aux meilleurs taux de classification. Elles trouvent également des zones cohérentes liées à la progression de la maladie.

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Cet article présente une stratégie variationnelle pour apprendre des métriques variant dans l'espace sur de grands groupes d'images, dans le cadre du Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping (LDDMM). Les métriques variant dans l'espace que nous apprenons favorisent non seulement les déformations locales mais aussi les déformations corrélées dans différentes régions de l'image et dans différentes directions. De plus, les paramètres métriques peuvent être estimés efficacement en utilisant une méthode de descente de gradient. Nous décrivons d'abord la stratégie générale, puis nous montrons comment l'utiliser sur des images médicales 3D avec des ressources de calcul raisonnables. Notre méthode est évaluée sur les images cérébrales 3D du jeu de données LPBA40. Les résultats sont comparés avec ANTS-SyN et LDDMM avec des métriques spatialement homogènes.

Motivés par le développement d'un modèle probabiliste pour la croissance des formes biologiques dans le contexte de grandes déformations par difféomorphismes, nous présentons une perturbation stochastique des équations hamiltoniennes des géodésiques sur des espaces de forme. Nous étudions le cas en dimension finie des groupes de points pour lesquels nous prouvons que les solutions fortes du système stochastique existent en tout temps. Nous étendons le modèle à l'espace des courbes et des surfaces paramétrées et nous développons un cadre analytique pratique pour prouver un résultat de convergence forte du cas en dimension finie au cas en dimension infinie. Nous présentons ensuite quelques améliorations du modèle.

Nous présentons un nouveau cadre pour le recalage d'images difféomorphes qui permet des interprétations naturelles de métriques variant dans l'espace. Ce cadre est basé sur les métriques difféomorphes invariantes à gauche (LIDM) et est étroitement lié à la cartographie métrique difféomorphe à grande déformation (LDDMM), désormais standard. Nous discutons de la relation entre la LIDM et la LDDMM et introduisons une classe de métriques variant dans l'espace, pratique sur le plan informatique et appropriée aux deux cadres. Enfin, nous démontrons l'efficacité de notre méthode sur un exemple de jouet en 2D et sur les 40 images cérébrales en 3D de l'ensemble de données LPBA40.

Dans cet article, nous proposons une nouvelle stratégie pour modéliser les conditions de glissement lors de l'enregistrement d'images 3D dans un cadre difféomorphe par morceaux. Plus précisément, notre principale contribution est le développement d'un formalisme mathématique permettant d'effectuer un enregistrement par cartographie métrique difféomorphe à grande déformation avec des conditions de glissement. Nous montrons également comment adapter ce formalisme au cadre d'enregistrement difféomorphe LogDemons. Nous montrons enfin comment appliquer cette stratégie pour estimer le mouvement respiratoire entre des images pulmonaires CT 3D. Des tests quantitatifs sont effectués sur des images synthétiques 2D et 3D, ainsi que sur des images pulmonaires 3D réelles provenant du défi MICCAI EMPIRE10. Les résultats montrent que notre stratégie estime des mappings précis de volumes entiers d'images thoraciques 3D qui présentent un mouvement de glissement, contrairement aux méthodes de recalage conventionnelles qui ne sont pas capables de capturer les déformations discontinues à la limite de la cage thoracique. Ils montrent également que, bien que les déformations ne soient pas lisses à l'emplacement des conditions de glissement, elles sont presque toujours inversibles dans l'ensemble du domaine de l'image. Cela pourrait être utile pour la planification et l'administration de la radiothérapie.

Cette thèse s'inscrit dans le contexte de l'appariement d'images dans le cadre des difféomorphismes de grande déformation. Avec des applications importantes en imagerie médicale et en anatomie computationnelle, cette approche utilise l'action des groupes de difféomorphismes afin de classifier des images. L'un des premiers problèmes à traiter est le calcul de la distance entre les objets sur lesquels peut agir le groupe de difféomorphismes. Le cas des images discontinues a été très partiellement compris. La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude complète du cas des images discontinues en toute dimension. En effet, les images sont supposées être des fonctions de variations bornées. Nous avons fourni des outils techniques pour traiter les images discontinues dans le cadre des difféomorphismes. La première application développée est une formulation hamiltonienne des équations géodésiques pour un nouveau modèle incluant un changement de contraste dans les images qui est représenté par une action d'un difféomorphisme sur les valeurs des lignes de niveau de l'image. La seconde est une extension du cadre de la métamorphose développé par A.