Géodésiques sur des espaces de forme avec variation limitée et métrique de Sobolev.

Résumé Cet article étudie l'espace des courbes planaires $BV^2$ dotées de la métrique de Finsler $BV^2$ sur son espace tangent de champs vectoriels de déplacement. Un tel espace est intéressant pour des applications en traitement d'images et en vision par ordinateur car il permet d'obtenir des courbes régulières par morceaux qui subissent des déformations régulières par morceaux, telles que des articulations. La principale contribution de cet article est la preuve de l'existence d'un plus court chemin entre deux courbes quelconques $BV^2$ pour cette métrique de Finsler. La méthode de preuve s'appuie sur la construction d'une martingale sur un espace satisfaisant la propriété de Radon-Nikodym et sur l'invariance sous reparamétrage de la métrique de Finsler. Cette méthode s'applique plus généralement à des cas similaires tels que l'espace des courbes à métrique $H^k$ pour $k \geq 2$ entier. Lorsque $k \geq 2$ est entier, cet espace a une forte structure riemannienne et est géodésiquement complet. Ainsi, notre résultat montre que la carte exponentielle est surjective, ce qui est complémentaire à la complétude géodésique en dimension infinie. Nous proposons une discrétisation par éléments finis du problème géodésique minimal, et utilisons une méthode de descente de gradient pour calculer un point stationnaire d'une énergie régularisée. Des illustrations numériques montrent la différence qualitative entre les géodésiques $BV^2$ et $H^2$.