Complément métrique de $Diff([0,1])$ avec la métrique droite invariante de $H1$.

Résumé Nous considérons le groupe des difféomorphismes croissants lisses Diff sur l'intervalle unitaire doté de la métrique $H^1$ invariante à droite. Nous calculons la complétion métrique de cet espace qui apparaît comme l'espace des cartes croissantes de l'intervalle unitaire avec des conditions aux limites à $0$ et $1$. Nous calculons l'enveloppe inférieure semi-continue associée au problème variationnel de la géodésique minimisant la longueur. Nous discutons la formulation eulérienne et lagrangienne de cette relaxation et nous montrons que les solutions lisses de l'équation EPDiff minimisent la longueur pour des temps courts.