Cubiques riemanniens sur le groupe des difféomorphismes et la métrique de Fisher-Rao.

Résumé Nous étudions un problème variationnel du second ordre sur le groupe des difféomorphismes de l'intervalle [0, 1] doté d'une métrique de Sobolev d'ordre 2 invariante à droite, qui consiste en la minimisation de l'accélération. Nous calculons la relaxation du problème qui fait intervenir la fonctionnelle dite de Fisher-Rao, une fonctionnelle convexe sur l'espace des mesures. Cette relaxation permet de dériver plusieurs conditions d'optimalité et, en particulier, une condition suffisante qui garantit qu'un chemin donné du problème initial est également un minimiseur du problème relaxé. Cette condition suffisante est liée à l'existence d'une solution à une équation de Riccati impliquant l'accélération du chemin.