Une introduction élémentaire à la régularisation entropique et aux méthodes proximales pour le transport optimal numérique.

Résumé Ces notes contiennent le matériel que j'ai présenté à l'école d'été CEA-EDF-INRIA sur le transport optimal numérique. Ces notes sont, à dessein, écrites à un niveau élémentaire, avec presque aucune connaissance préalable et le style d'écriture est relativement informel. Toutes les méthodes présentées ci-après reposent sur l'optimisation convexe, nous commençons donc par une introduction assez basique à l'analyse et à l'optimisation convexes. Ensuite, nous présentons la régularisation entropique de la formulation de Kantorovich et nous présentons l'algorithme de Sinkhorn, maintenant bien connu, dont la convergence est prouvée dans un cadre continu avec une preuve simple. Nous prouvons le taux de convergence linéaire de cet algorithme par rapport à la métrique de Hilbert. La deuxième méthode numérique que nous présentons utilise la formulation dynamique du transport optimal proposée par Benamou et Brenier, qui peut être résolue par des méthodes d'optimisation convexe non lisse. Nous terminons ce bref cours par un aperçu d'autres formulations dynamiques de problèmes similaires au transport optimal.