L'équation de Camassa-Holm en tant qu'équation d'Euler incompressible : un point de vue géométrique.

Résumé Le groupe de difféomorphismes d'un collecteur compact doté de la métrique L^2 agissant sur l'espace des densités de probabilité donne un cadre unifié pour l'équation d'Euler incompressible et la théorie du transport optimal de masse. Récemment, plusieurs auteurs ont étendu le transport optimal à l'espace des mesures positives de Radon où la distance de Wasserstein-Fisher-Rao est une extension naturelle de la distance classique de L^2-Wasserstein. Dans cet article, nous montrons une relation similaire entre ce problème de transport optimal non équilibré et la métrique de Hdiv right-invariante sur le groupe des difféomorphismes, qui correspond à l'équation de Camassa-Holm (CH) en une dimension. Du côté du transport optimal, nous prouvons un théorème de factorisation polaire sur le groupe d'automorphisme des demi-densités. Géométriquement, notre point de vue fournit un encastrement isométrique du groupe de difféomorphismes doté de cette métrique invariante à droite dans le groupe d'automorphismes du faisceau de fibres des demi-densités doté d'une métrique conique de type L^2. Ceci conduit à une nouvelle formulation de l'équation CH (généralisée) comme une équation géodésique sur un sous-groupe isotrope de ce groupe d'automorphismes. Sur S1, les solutions de l'équation CH standard donnent ainsi des solutions particulières de l'équation d'Euler incompressible sur un groupe d'homéomorphismes de R^2 qui préservent une densité radiale qui a une singularité en 0. Une autre application consiste à prouver que les solutions lisses de l'équation d'Euler-Arnold pour la métrique droite invariante de Hdiv sont des géodésiques minimisant la longueur pour des temps suffisamment courts.