Transport optimal déséquilibré : Géométrie et formulation de Kantorovich.

Résumé Cet article présente une nouvelle classe de distances de type "transport optimal" entre des mesures de Radon positives arbitraires. Ces distances sont définies par deux formulations alternatives équivalentes : (i) une formulation "dynamique fluide" définissant la distance comme une distance géodésique sur l'espace des mesures (ii) une formulation statique "Kantorovich" où la distance est le minimum d'un programme d'optimisation sur des paires de couplages décrivant le transfert (transport, création et destruction) de masse entre deux mesures. Les deux formulations sont des problèmes d'optimisation convexe, et la possibilité de passer de l'une à l'autre en fonction de l'application visée est une propriété cruciale de nos modèles. La métrique de Wasserstein-Fisher-Rao, récemment introduite indépendamment par [CSPV15, KMV15], présente un intérêt particulier. Définie initialement par une formulation dynamique, elle appartient à cette classe de métriques et bénéficie donc automatiquement d'une formulation statique de Kantorovich. Le passage de l'expression initiale eulérienne de cette métrique à un point de vue lagrangien permet de généraliser la submersion riemannienne d'Otto à ce nouveau cadre, où le groupe de difféomorphismes est remplacé par un produit semi-direct de groupe. Cette submersion riemannienne permet un calcul formel de la courbure sectionnelle de l'espace des densités et la formulation d'un problème de Monge équivalent.