Discrétisation de fonctionnelles impliquant l'opérateur de Monge-Ampère.

Résumé Les flux de gradients dans l'espace de Wasserstein sont devenus un outil puissant dans l'analyse des équations de diffusion, suite aux travaux séminaux de Jordan, Kinderlehrer et Otto (JKO). Les applications numériques de cette formulation ont été limitées par la difficulté de calculer la distance de Wasserstein en dimension >= 2. Une étape du schéma JKO est équivalente à un problème variationnel sur l'espace des fonctions convexes, qui implique l'opérateur de Monge-Ampère. Les contraintes de convexité sont particulièrement difficiles à traiter numériquement, mais dans notre cadre, l'énergie interne joue le rôle d'une barrière pour ces contraintes. Cela nous permet d'introduire une discrétisation cohérente, qui hérite des propriétés de convexité du problème variationnel continu. Nous montrons l'efficacité de notre approche sur des modèles non linéaires de diffusion et de mouvement de foule.