CARLIER Guillaume

L’objectif de cette thèse est de proposer des méthodes variationnelles pour l’analyse mathématiques et numérique d’une classe d’équations d’HJ. Le caractère métrique de ces équations permet de caractériser l’ensemble des sous-solutions, à savoir, elles sont 1-Lipschitz par rapport à la distance Finslerienne associée au Hamiltonien. De manière équivalente, cela revient à dire que le gradient de ces fonctions appartient à une certaine boule Finslerienne. La solution recherchée est la sous-solution maximale, qui peut être décrite par une formule du type Hopf-Lax, qui résout un problème de maximisation avec contrainte sur le gradient. Nous dérivons un problème dual associé faisant intervenir la variation totale Finslerienne de mesures vectorielles avec contrainte divergente. Nous exploitons la structure de point-selle pour proposer une résolution numérique avec la méthode du Lagrangien augmenté. Cette caractérisation de l’équation d’HJ montre aussi le lien avec des problèmes de transport optimal vers/depuis le bord. Ce lien avec le transport optimal de masse nous amène à généraliser l’approche d’Evans-Gangbo. En effet, nous montrons que la sous-solution maximale de l’équation d’HJ s’obtient en faisant tendre p→∞ dans une classe de p-Laplaciens de type Finsler avec des obstacles sur le bord. Cela nous permet aussi de construire le flux optimal pour le problème de Beckmann associé. Parmi les applications que l’on regarde, le problème du Shape from Shading qui consiste à reconstruire la surface d’un objet en 3D à partir d’une image en nuances de gris de cet objet.

Le but de cette courte note est de donner une preuve élémentaire de la convergence linéaire de l'algorithme de Sinkhorn pour la régularisation entropique du transport optimal multi-marginal. La preuve repose simplement sur : i) le fait que les itérés de Sinkhorn sont bornés, ii) la forte convexité de l'exponentielle sur des intervalles bornés et iii) l'analyse de convergence de la méthode de descente des coordonnées (Gauss-Seidel) de Beck et Tetruashvili [1].

Dans cet article, nous étudions les propriétés des barycentres de Wasserstein pénalisés par l'entropie, introduits dans [5] comme une régularisation des barycentres de Wasserstein [1]. Après avoir caractérisé ces barycentres en termes d'un système d'équations de Monge-Ampère, nous prouvons quelques moments globaux et des limites de Sobolev ainsi que des propriétés de régularité supérieure. Nous établissons enfin un théorème central limite pour les barycentres de Wasserstein entropiques.

Nous proposons un modèle MFG (jouet) pour l'évolution des densités de résidents et d'entreprises, couplées à la fois par les conditions d'équilibre du marché du travail et la concurrence pour l'utilisation des sols (congestion). Il en résulte un système de deux équations de Hamilton-Jacobi-Bellman et deux équations de Fokker-Planck avec une nouvelle forme de couplage liée au transport optimal. Ce MFG a un potentiel convexe qui nous permet de trouver des solutions faibles par une approche variationnelle. Dans le cas d'hamiltoniens quadratiques, le problème peut être reformulé en termes lagrangiens et résolu numériquement par un schéma de type IPFP/Sinkhorn comme dans [4]. Nous présentons des résultats numériques basés sur cette approche. Ces simulations présentent différents comportements, avec une prédominance de l'agglomération ou de la ségrégation en fonction des conditions initiales et des paramètres.

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Nous proposons un nouveau point de vue sur les jeux variationnels à champ moyen avec diffusion et hamiltonien quadratique. Nous montrons l'équivalence de ces jeux à champ moyen avec une minimisation de l'entropie relative au niveau des probabilités sur les courbes. Nous abordons également la discrétisation temporelle de tels problèmes, établissons des résultats de Γ-convergence lorsque le pas de temps disparaît et proposons un algorithme efficace reposant sur cette interprétation entropique ainsi que sur l'algorithme d'échelle de Sinkhorn.

Cette thèse propose des modèles et des méthodes pour étudier le contrôle du risque dans de larges systèmes financiers. Nous proposons dans une première partie une approche structurelle : nous considérons un système financier représenté comme un réseau d’institutions connectées entre elles par des interactions stratégiques sources de financement mais également par des interactions qui les exposent à un risque de contagion de défaut. La nouveauté de notre approche réside dans le fait que ces deux types d’interaction interfèrent. Nous proposons des nouvelles notions d’équilibre pour ces systèmes et étudions la connectivité optimale du réseau et le risque systémique associé. Dans une deuxième partie, nous introduisons des mesures de risque systémique définies par des équations différentielles stochastiques rétrogrades dirigées par des opérateurs à champ moyen et étudions des problèmes d’arrêt optimal associés. La dernière partie aborde des questions de liquidation optimale de portefeuilles.

Motivés par certains problèmes variationnels soumis à une contrainte de convexité, nous considérons une approximation utilisant le logarithme du déterminant du Hessien comme une barrière pour la contrainte. Nous montrons que le minimiseur de cette pénalisation peut être approché en résolvant un second problème de valeur limite pour l'équation d'Abreu qui est un problème elliptique non linéaire d'ordre 4 bien posé. De manière plus intéressante, un résultat d'approximation similaire est valable pour le problème variationnel initial sous contrainte.

En tirant avantage de la formulation dynamique de Benamou-Brenier du transport optimal, nous proposons une formulation convexe pour chaque étape du schéma JKO pour les flux à gradient de Wasserstein qui peut être attaquée par une méthode Lagrangienne augmentée que nous appelons le schéma ALG2-JKO. Nous testons l'algorithme en particulier sur l'équation du milieu poreux. Nous considérons également une variante semi-implicite qui nous permet de traiter les interactions non-locales ainsi que les systèmes d'espèces en interaction. En ce qui concerne les systèmes, nous pouvons également utiliser le schéma ALG2-JKO pour la simulation de modèles de mouvement de foule avec plusieurs espèces.

Nous introduisons une méthode d'approximation nouvelle et élémentaire pour les problèmes d'optimisation à deux niveaux motivés par les jeux de Stackelberg leader-follower. Notre technique est basée sur la notion de mesures de Gibbs à deux échelles. La première échelle correspond à la fonction de coût du suiveur et la seconde à celle du leader. Nous expliquons comment choisir les poids correspondant à ces deux échelles sous des hypothèses très générales et établissons des résultats rigoureux de Γ-convergence. Un avantage de notre méthode est qu'elle est applicable à la fois aux problèmes optimistes et pessimistes à deux niveaux.

Nous proposons un point de vue de minimisation de l'entropie sur les jeux variationnels à champ moyen avec diffusion et hamiltonien quadratique. Nous analysons soigneusement la discrétisation temporelle de tels problèmes, établissons des résultats de Γ-convergence lorsque le pas de temps disparaît et proposons un algorithme efficace reposant sur cette interprétation entropique ainsi que sur l'algorithme d'échelle de Sinkhorn.

Cette thèse porte sur l’étude du comportement en temps long des jeux à champ moyen (MFG) potentiels, indépendamment de la convexité du problème de minimisation associé. Pour le système hamiltonien de dimension finie, des problèmes de même nature ont été traités par la théorie KAM faible. Nous transposons de nombreux résultats de cette théorie dans le contexte des jeux à champ moyen potentiels. Tout d'abord, nous caractérisons par approximation ergodique la valeur limite associée aux systèmes MFG à horizon fini. Nous fournissons des exemples explicites dans lesquels cette valeur est strictement supérieure au niveau d’énergie des solutions stationnaires du système MFG ergodique. Cela implique que les trajectoires optimales des systèmes MFG à horizon fini ne peuvent pas converger vers des configurations stationnaires. Ensuite, nous prouvons la convergence du problème de minimisation associé à MFG à horizon fini vers une solution de l’équation Hamilton-Jacobi critique dans l’espace de mesures de probabilité. De plus, nous montrons une limite de champ moyen pour la constante ergodique associée à l’équation Hamilton-Jacobi de dimension finie correspondante. Dans la dernière partie, nous caractérisons la limite du problème de minimisation à horizon infini que nous avons utilisé pour l'approximation ergodique dans la première partie du manuscrit.

Nous traitons d'un grave problème mal posé, à savoir le processus de reconstruction d'une image lors d'une acquisition tomographique avec (très) peu de vues. Nous présentons différentes méthodes que nous avons étudiées au cours de la dernière décennie. Elles sont basées sur l'analyse variationnelle. Il s'agit d'un article de synthèse et nous renvoyons aux articles cités pour plus de détails. Classification des sujets en mathématiques (2010). 49K40, 45Q05, 65M32.

En partant de la formulation relaxée de Brenier de l'équation d'Euler incompressible en termes de géodésiques dans le groupe des difféomorphismes préservant la mesure, nous proposons une méthode numérique basée sur l'algorithme de Sinkhorn pour la régularisation entropique du transport optimal. Nous faisons également une comparaison détaillée de cette régularisation entropique avec le problème d'interpolation entropique dit de Bredinger (voir [1]). Des résultats numériques en dimension un et deux illustrent la faisabilité de la méthode.

Motivés par certains problèmes variationnels soumis à une contrainte de convexité, nous considérons une approximation utilisant le logarithme du déterminant du Hessien comme une barrière pour la contrainte. Nous montrons que le minimiseur de cette pénalisation peut être approché en résolvant un second problème de valeur limite pour l'équation d'Abreu qui est un problème elliptique non linéaire d'ordre 4 bien posé. De manière plus intéressante, un résultat d'approximation similaire est valable pour le problème variationnel initial sous contrainte.

Nous développons une approche différentielle élémentaire et autonome, dans un cadre L ∞, pour le caractère bien posé (existence, unicité et dépendance lisse par rapport aux données) du système de Schrödinger multi-marginal qui se pose dans la régularisation entropique des problèmes de transport optimal.

Nous étudions la distance de Wasserstein entre deux mesures µ, ν qui sont mutuellement singulières. En particulier, nous nous intéressons aux problèmes de minimisation de la forme W (µ, A) = inf W (µ, ν) : ν ∈ A où µ est une probabilité donnée et A est contenu dans la classe µ ⊥ des probabilités singulières par rapport à µ. Plusieurs cas pour A sont considérés. En particulier, lorsque A consiste en L 1 densités bornées par une constante, la solution optimale est donnée par la fonction caractéristique d'un domaine. Certaines propriétés de régularité de ces domaines optimaux sont également étudiées. Quelques simulations numériques sont incluses, ainsi que le double problème de minimisation min P (B) + kW (A, B) : |A ∩ B| = 0, |A| = |B| = 1 , où k > 0 est une constante fixe, P (A) est le périmètre de A, et les deux ensembles A, B peuvent varier.

En partant de la formulation relaxée de Brenier de l'équation d'Euler incompressible en termes de géodésiques dans le groupe des difféomorphismes préservant la mesure, nous proposons une méthode numérique basée sur l'algorithme de Sinkhorn pour la régularisation entropique du transport optimal. Nous faisons également une comparaison détaillée de cette régularisation entropique avec le problème d'interpolation entropique dit de Bredinger (voir [1]). Des résultats numériques en dimension un et deux illustrent la faisabilité de la méthode.

Nous traitons d'un grave problème mal posé, à savoir le processus de reconstruction d'une image lors d'une acquisition tomographique avec (très) peu de vues. Nous présentons différentes méthodes que nous avons étudiées au cours de la dernière décennie. Elles sont basées sur l'analyse variationnelle. Il s'agit d'un article de synthèse et nous renvoyons aux articles cités pour plus de détails. Classification des sujets en mathématiques (2010). 49K40, 45Q05, 65M32.

Nous étudions dans cette thèse divers aspects du transport optimal martingale en dimension plus grande que un, de la dualité à la structure locale, puis nous proposons finalement des méthodes d’approximation numérique.On prouve d’abord l’existence de composantes irréductibles intrinsèques aux transports martingales entre deux mesures données, ainsi que la canonicité de ces composantes. Nous avons ensuite prouvé un résultat de dualité pour le transport optimal martingale en dimension quelconque, la dualité point par point n’est plus vraie mais une forme de dualité quasi-sûre est démontrée. Cette dualité permet de démontrer la possibilité de décomposer le transport optimal quasi-sûre en une série de sous-problèmes de transports optimaux point par point sur chaque composante irréductible. On utilise enfin cette dualité pour démontrer un principe de monotonie martingale, analogue au célèbre principe de monotonie du transport optimal classique. Nous étudions ensuite la structure locale des transports optimaux, déduite de considérations différentielles. On obtient ainsi une caractérisation de cette structure en utilisant des outils de géométrie algébrique réelle. On en déduit la structure des transports optimaux martingales dans le cas des coûts puissances de la norme euclidienne, ce qui permet de résoudre une conjecture qui date de 2015. Finalement, nous avons comparé les méthodes numériques existantes et proposé une nouvelle méthode qui s’avère plus efficace et permet de traiter un problème intrinsèque de la contrainte martingale qu’est le défaut d’ordre convexe. On donne également des techniques pour gérer en pratique les problèmes numériques.

Nous étudions des équations relatives au p-Laplacien anisotrope lorsque certaines composantes du vecteur p sont égales à 1.

Nous considérons un cadre d'optimisation à deux niveaux correspondant à un problème de tarification spatiale monopolistique : le prix pour un ensemble d'installations données maximise le profit (problème de niveau supérieur) en tenant compte du fait que la demande est déterminée par la minimisation des coûts des consommateurs (problème de niveau inférieur). Dans notre modèle, les coûts de transport et les coûts de congestion sont pris en compte, et le problème de niveau inférieur est résolu par la théorie des masses de transport partiel. L'aspect transport partiel du problème vient du fait que chaque consommateur a la possibilité de rester en dehors du marché. Nous généralisons également le modèle et notre analyse variationnelle au cas stochastique où l'utilité implique un terme aléatoire.

Nous étudions la distance de Wasserstein entre deux mesures µ, ν qui sont mutuellement singulières. En particulier, nous nous intéressons aux problèmes de minimisation de la forme W (µ, A) = inf W (µ, ν) : ν ∈ A où µ est une probabilité donnée et A est contenu dans la classe µ ⊥ des probabilités singulières par rapport à µ. Plusieurs cas pour A sont considérés. En particulier, lorsque A consiste en L 1 densités bornées par une constante, la solution optimale est donnée par la fonction caractéristique d'un domaine. Certaines propriétés de régularité de ces domaines optimaux sont également étudiées. Quelques simulations numériques sont incluses, ainsi que le double problème de minimisation min P (B) + kW (A, B) : |A ∩ B| = 0, |A| = |B| = 1 , où k > 0 est une constante fixe, P (A) est le périmètre de A, et les deux ensembles A, B peuvent varier.

Nous étudions le schéma JKO pour la variation totale, caractérisons les optimiseurs, prouvons certaines de leurs propriétés qualitatives (en particulier une sorte de principe de maximum et la régularité des ensembles de niveaux). Nous étudions en détail le cas des fonctions échelon. Enfin, en dimension un, nous établissons la convergence, lorsque le pas de temps devient nul, vers une solution d'une équation d'évolution non linéaire d'ordre 4.

Nous considérons une classe d'équations d'évolution contraintes doublement non linéaires qui peuvent être considérées comme une extension non linéaire du modèle de tas de sable croissant de [15]. Nous prouvons l'existence de solutions faibles pour des sources assez irrégulières par un schéma semi-implicite dans l'esprit des travaux séminaux de [13] et [14] mais avec la distance de 1-Wasserstein au lieu de la distance quadratique. Nous prouvons également un résultat de contraction L 1 lorsque la source est L 1 et déduisons l'unicité et la stabilité dans ce cas.

Au cours des 20 dernières années, la théorie du transport optimal s’est revelée être un outil efficace pour étudier le comportement asymptotique dans le cas des équations de diffusion, pour prouver des inégalités fonctionnelles et pour étendre des propriétés géométriques dans des espaces extrêmement généraux comme des espaces métriques mesurés, etc. La condition de courbure-dimension de la théorie Bakry-Emery apparaît comme la pierre angulaire de ces applications. Il suffit de penser au cas le plus simple et le plus important de la distance quadratique de Wasserstein W2 : la contraction du flux de chaleur en W2 caractérise les bornes inférieures uniformes pour la courbure de Ricci . l’inégalité de Talagrand du transport, comparant W2 à l’entropie relative est impliquée et implique, par l’inégalité HWI, l’inégalité log-Sobolev . les géodésiques de McCann dans l’espace de Wasserstein (P2(Rn),W2) permettent de prouver des propriétés fonctionnelles importantes comme la convexité, et des inégalités fonctionnelles standards telles que l’isopérymétrie, des propriétés de concentration de mesure, l’inégalité de Prékopa-Leindler et ainsi de suite. Néanmoins, le manque de régularité des plans minimisation nécessite des arguments d’analyse non lisse. Le problème de Schrödinger est un problème de minimisation de l’entropie avec des contraintes marginales et un processus de référence fixes. À partir de la théorie des grandes déviations, lorsque le processus de référence est le mouvement Brownien, sa valeur minimale A converge vers W2 lorsque la température est nulle. Les interpolations entropiques, solutions du problème de Schrödinger, sont caractérisées en termes de semigroupes de Markov, ce qui implique naturellement les calculs Γ2 et la condition de courbure-dimension. Datant des années 1930 et négligé pendant des décennies, le problème de Schrodinger connaît depuis ces dernières années une popularité croissante dans différents domaines, grâce à sa relation avec le transport optimal, à la regularité de ses solutions, et à d’autres propriétés performantes dans des calculs numériques. Le but de ce travail est double. D’abord, nous étudions certaines analogies entre le problème de Schrödinger et le transport optimal fournissant de nouvelles preuves de la formulation duale de Kantorovich et de celle, dynamique, de Benamou-Brenier pour le coût entropique A. Puis, en tant qu’application de ces connexions, nous dérivons certaines propriétés et inégalités fonctionnelles sous des conditions de courbure-dimension. En particulier, nous prouvons la concavité de l’entropie exponentielle le long des interpolations entropiques sous la condition de courbure-dimension CD(0, n) et la régularité du coût entropique le long du flot de la chaleur. Nous donnons également différentes preuves de l’inégalité variationnelle évolutionnaire pour A et de la contraction du flux de la chaleur en A, en retrouvant comme cas limite, les résultats classiques en W2, sous CD(κ,∞) et CD(0, n). Enfin, nous proposons une preuve simple de la propriété de concentration gaussienne via le problème de Schrödinger comme alternative aux arguments classiques tel que l’argument de Marton basé sur le transport optimal.

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Les barycentres dans l'espace de Wasserstein constituent unemanì ere naturelle d'interpoler entre plusieurs me-sures de probabillité, utile dans différents domaines appliqués comme le traitement d'images ou l'apprentissage sta-tistique. Nous conjecturons que ces barycentres obéissentobéissentà un théorème de la limite centrale que nous démontrons dans quelques cas (très) particuliers.

Le remplacement des contraintes de positivité par une barrière d'entropie est populaire pour approximer les solutions des programmes linéaires. Dans le cas particulier du problème du transport optimal, cette technique remonte aux premiers travaux de Schrödinger. Cette approche a récemment été utilisée avec succès pour résoudre des problèmes liés au transport optimal dans plusieurs domaines appliqués tels que les sciences de l'image, l'apprentissage automatique et les sciences sociales. La principale raison de ce succès est que, contrairement aux solveurs de programmation linéaire, les algorithmes qui en résultent sont hautement parallélisables et tirent parti de la géométrie de la grille de calcul (par exemple, une image ou un maillage triangulé). La première contribution de cet article est la preuve de la convergence de Γ du problème de transport optimal régularisé entropique vers le problème de Monge-Kantorovich pour la fonction de coût de la norme euclidienne carrée. Ceci implique en particulier la convergence du plan de transport optimal régularisé entropique vers un plan de transport optimal lorsque l'entropie disparaît. Les distances de transport optimales sont également utiles pour définir les flux de gradient comme une limite des étapes d'Euler implicites en fonction de la distance de transport. Notre deuxième contribution est une preuve que les étapes implicites selon la distance entropique régularisée convergent vers le flux de gradient original lorsque la taille de l'étape et la pénalité entropique disparaissent (d'une certaine manière contrôlée).

Cet article est une brève présentation des jeux de champs moyens avec pénalisation de la congestion qui ont une structure variationnelle, en partant du cadre dynamique déterministe. Le cadre stochastique (c'est-à-dire avec diffusion) est également présenté dans le cas stationnaire et dynamique. Les problèmes variationnels pertinents pour la MFG sont décrits via des langages eulériens et lagrangiens, et le lien avec les équilibres est expliqué au moyen de la dualité convexe et des conditions d'optimalité. La structure convexe du problème permet également un traitement numérique efficace, basé sur des algorithmes lagrangiens augmentés, et quelques nouvelles simulations sont présentées à la fin de l'article.

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Nous prouvons un résultat d'existence pour les équations de diffusion non linéaires en présence d'une dérive non locale dépendant de la densité qui n'est pas nécessairement potentielle. La preuve est constructive et basée sur la décomposition de Helmholtz de la dérive et un schéma de fractionnement. Le schéma de fractionnement combine des étapes de transport par la partie sans divergence de la dérive et des étapes de minimisation semi-implicite à la Jordan-Kinderlherer Otto pour traiter la partie potentielle.

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Cet article est une brève présentation des jeux de champs moyens avec pénalisation de la congestion qui ont une structure variationnelle, en partant du cadre dynamique déterministe. Le cadre stochastique (c'est-à-dire avec diffusion) est également présenté dans le cas stationnaire et dynamique. Les problèmes variationnels pertinents pour la MFG sont décrits via des langages eulériens et lagrangiens, et le lien avec les équilibres est expliqué au moyen de la dualité convexe et des conditions d'optimalité. La structure convexe du problème permet également un traitement numérique efficace, basé sur des algorithmes lagrangiens augmentés, et quelques nouvelles simulations sont présentées à la fin de l'article.

L'analyse de la limite supérieure permet d'évaluer directement la charge ultime des structures sans effectuer une analyse incrémentale fastidieuse. Afin d'appliquer numériquement cette méthode aux plaques minces en flexion, plusieurs auteurs ont proposé d'utiliser diverses discrétisations par éléments finis. Nous fournissons dans cet article une analyse mathématique qui assure la convergence de la méthode des éléments finis, même avec des éléments finis aux dérivées discontinues tels que les triangles de Lagrange quadratiques à 6 nœuds et les triangles d'Hermite cubiques. Plus précisément, nous prouvons la convergence $\Gamma$ des problèmes discrétisés vers le problème d'analyse limite continu. Les résultats numériques illustrent la pertinence de cette analyse pour la conception du rendement des matériaux homogènes et non-homogènes.

L'analyse de la limite supérieure permet d'évaluer directement la charge ultime des structures sans effectuer une analyse incrémentale fastidieuse. Afin d'appliquer numériquement cette méthode aux plaques minces en flexion, plusieurs auteurs ont proposé d'utiliser diverses discrétisations par éléments finis. Nous fournissons dans cet article une analyse mathématique qui assure la convergence de la méthode des éléments finis, même avec des éléments finis aux dérivées discontinues tels que les triangles de Lagrange quadratiques à 6 nœuds et les triangles d'Hermite cubiques. Plus précisément, nous prouvons la Γ-convergence des problèmes discrétisés vers le problème d'analyse limite continu. Les résultats numériques illustrent la pertinence de cette analyse pour la conception du rendement des matériaux homogènes et non-homogènes.

Le problème de Monge avec un coût de Finsler est intimement lié à un problème de flux optimal. La discrétisation de ce problème et de son dual conduit à un problème bien posé de point-selle en dimension finie qui peut être résolu numériquement relativement facilement par une approche lagrangienne augmentée dans le même esprit que la méthode de Benamou-Brenier pour le problème de transport optimal à coût quadratique. Les résultats numériques valident la méthode. Nous soulignons également que l'algorithme ne nécessite que des opérations élémentaires et en particulier n'implique jamais l'évaluation de la distance de Finsler ou des géodésiques.

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Nous considérons une classe de jeux avec un continuum de joueurs où les équilibres peuvent être obtenus par la minimisation d'une certaine fonction liée au transport optimal comme souligné dans [7]. Nous utilisons ensuite la puissante technique de régularisation entropique pour approximer le problème et le résoudre numériquement dans différents cas. Nous considérons également l'extension à certains modèles avec plusieurs populations de joueurs.

Dans ce chapitre, nous présentons une méthode numérique, basée sur des projections itératives de Bregman, pour résoudre le problème de transport optimal avec coût de Coulomb. Ce problème est lié à la limite d'interaction forte de la Théorie de la Fonctionnelle de la Densité. La première idée est d'introduire une régularisation entropique de la formulation de Kantorovich du problème de transport optimal. Le problème régularisé correspond alors à la projection d'un vecteur sur l'intersection des contraintes par rapport à la distance de Kullback-Leibler. Les projections itératives de Bregman sur chaque contrainte marginale sont explicites ce qui nous permet d'approximer le plan de transport optimal. Nous validons la méthode numérique par rapport à des cas tests analytiques.

Les barycentres dans l'espace de Wasserstein constituent unemanì ere naturelle d'interpoler entre plusieurs me-sures de probabillité, utile dans différents domaines appliqués comme le traitement d'images ou l'apprentissage sta-tistique. Nous conjecturons que ces barycentres obéissentobéissentà un théorème de la limite centrale que nous démontrons dans quelques cas (très) particuliers.

Cette thèse présente trois principaux sujets de recherche, les deux premiers étant indépendants et le dernier indiquant la relation des deux premières problématiques dans un cas concret.Dans la première partie nous nous intéressons au problème de transport optimal martingale dans l’espace de Skorokhod, dont le premier but est d’étudier systématiquement la tension des plans de transport martingale. On s’intéresse tout d’abord à la semicontinuité supérieure du problème primal par rapport aux distributions marginales. En utilisant la S-topologie introduite par Jakubowski, on dérive la semicontinuité supérieure et on montre la première dualité. Nous donnons en outre deux problèmes duaux concernant la surcouverture robuste d’une option exotique, et nous établissons les dualités correspondantes, en adaptant le principe de la programmation dynamique et l’argument de discrétisation initie par Dolinsky et Soner.La deuxième partie de cette thèse traite le problème du plongement de Skorokhod optimal. On formule tout d’abord ce problème d’optimisation en termes de mesures de probabilité sur un espace élargi et ses problèmes duaux. En utilisant l’approche classique de la dualité. convexe et la théorie d’arrêt optimal, nous obtenons les résultats de dualité. Nous rapportons aussi ces résultats au transport optimal martingale dans l’espace des fonctions continues, d’où les dualités correspondantes sont dérivées pour une classe particulière de fonctions de paiement. Ensuite, on fournit une preuve alternative du principe de monotonie établi par Beiglbock, Cox et Huesmann, qui permet de caractériser les optimiseurs par leur support géométrique. Nous montrons à la fin un résultat de stabilité qui contient deux parties: la stabilité du problème d’optimisation par rapport aux marginales cibles et le lien avec un autre problème du plongement optimal.La dernière partie concerne l’application de contrôle stochastique au transport optimal martingale avec la fonction de paiement dépendant du temps local, et au plongement de Skorokhod. Pour le cas d’une marginale, nous retrouvons les optimiseurs pour les problèmes primaux et duaux via les solutions de Vallois, et montrons en conséquence l’optimalité des solutions de Vallois, ce qui regroupe le transport optimal martingale et le plongement de Skorokhod optimal. Quand au cas de deux marginales, on obtient une généralisation de la solution de Vallois. Enfin, un cas spécial de plusieurs marginales est étudié, où les temps d’arrêt donnés par Vallois sont bien ordonnés.

Depuis l’article fondateur de Jordan, Kinderlehrer et Otto en 1998, il est bien connu qu’une large classe d’équations paraboliques peuvent être vues comme des flots de gradient dans l’espace de Wasserstein. Le but de cette thèse est d’étendre cette théorie à certaines équations et systèmes qui n’ont pas exactement une structure de flot de gradient. Les interactions étudiées sont de différentes natures. Le premier chapitre traite des systèmes avec des interactions non locales dans la dérive. Nous étudions ensuite des systèmes de diffusions croisées s’appliquant aux modèles de congestion pour plusieurs populations. Un autre modèle étudié est celui où le couplage se trouve dans le terme de réaction comme les systèmes proie-prédateur avec diffusion ou encore les modèles de croissance tumorale. Nous étudierons enfin des systèmes de type nouveau où l’interaction est donnée par un problème de transport multi-marges. Une grande partie de ces problèmes est illustrée de simulations numériques.

Nous considérons un cadre d'optimisation à deux niveaux correspondant à un problème de tarification spatiale monopolistique : le prix pour un ensemble d'installations données maximise le profit (problème de niveau supérieur) en tenant compte du fait que la demande est déterminée par la minimisation des coûts des consommateurs (problème de niveau inférieur). Dans notre modèle, les coûts de transport et les coûts de congestion sont pris en compte, et le problème de niveau inférieur est résolu par la théorie des masses de transport partiel. L'aspect transport partiel du problème vient du fait que chaque consommateur a la possibilité de rester en dehors du marché. Nous généralisons également le modèle et notre analyse variationnelle au cas stochastique où l'utilité implique un terme aléatoire.

Dans cette thèse, notre but est de donner un cadre numérique général pour approcher les solutions des problèmes du transport optimal (TO). L’idée générale est d’introduire une régularisation entropique du problème initial. Le problème régularisé correspond à minimiser une entropie relative par rapport à une mesure de référence donnée. En effet, cela équivaut à trouver la projection d’un couplage par rapport à la divergence de Kullback-Leibler. Cela nous permet d’utiliser l’algorithme de Bregman/Dykstra et de résoudre plusieurs problèmes variationnels liés au TO. Nous nous intéressons particulièrement à la résolution des problèmes du transport optimal multi-marges (TOMM) qui apparaissent dans le cadre de la dynamique des fluides (équations d’Euler incompressible à la Brenier) et de la physique quantique (la théorie de fonctionnelle de la densité ). Dans ces cas, nous montrons que la régularisation entropique joue un rôle plus important que de la simple stabilisation numérique. De plus, nous donnons des résultats concernant l’existence des transports optimaux (par exemple des transports fractals) pour le problème TOMM.

Le problème principal-agent en économie conduit à des problèmes variationnels soumis à des contraintes globales de $b$-convexité sur les fonctions admissibles, capturant les contraintes dites d'incitation-compatibilité. Les exemples typiques sont les problèmes de minimisation soumis à une contrainte de convexité. Dans un article récent et novateur, Figalli et al. (J Econ Theory 146(2):454-478, 2011) ont identifié les conditions qui assurent la convexité du problème principal-agent et ont ainsi suscité l'espoir sur le développement de méthodes numériques. Nous considérons des instances spéciales de problèmes de projection sur des fonctions $b$-convexes et montrons comment ils peuvent être résolus numériquement en utilisant l'algorithme de projection itéré de Dykstra pour traiter la contrainte de $b$-convexité dans le cadre de (Figalli et al. in J Econ Theory 146(2):454-478, 2011). Notre méthode s'avère également simple pour les calculs d'enveloppe convexe.

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Nous prouvons un résultat d'existence pour les équations de diffusion non linéaires en présence d'une dérive non locale dépendant de la densité qui n'est pas nécessairement potentielle. La preuve est constructive et basée sur la décomposition de Helmholtz de la dérive et un schéma de fractionnement. Le schéma de fractionnement combine des étapes de transport par la partie sans divergence de la dérive et des étapes de minimisation semi-implicites à la Jordan-Kinderlherer Otto pour traiter la partie potentielle.

Nous considérons un modèle cinétique unidimensionnel de milieux granulaires dans le cas où le potentiel d'interaction est quadratique. En profitant d'une intégrale première simple, nous pouvons utiliser une reformulation (équivalente au modèle cinétique initial pour les solutions classiques) qui permet des solutions de mesure. Cette reformulation a une structure de flux de gradient de Wasserstein (sur un produit possiblement infini d'espaces de mesures) pour une énergie convexe qui nous permet de prouver le caractère bien posé global en temps.

En tirant avantage de la formulation dynamique de Benamou-Brenier du transport optimal, nous proposons une formulation convexe pour chaque étape du schéma JKO pour les flux à gradient de Wasserstein qui peut être attaquée par une méthode Lagrangienne augmentée que nous appelons le schéma ALG2-JKO. Nous testons l'algorithme en particulier sur l'équation du milieu poreux. Nous considérons également une variante semi-implicite qui nous permet de traiter les interactions non-locales ainsi que les systèmes d'espèces en interaction. En ce qui concerne les systèmes, nous pouvons également utiliser le schéma ALG2-JKO pour la simulation de modèles de mouvement de foule avec plusieurs espèces.

Cet article est consacré aux résultats d'existence et d'unicité pour des classes d'équations (ou de systèmes) de diffusion non linéaires qui peuvent être considérées comme des perturbations régulières de flux de gradients de Wasserstein. D'abord, dans le cas où la dérive est un gradient (dans l'espace physique), nous obtenons l'existence par un schéma semi-implicite de Jordan-Kinderlehrer-Otto. Ensuite, dans le cas non potentiel, nous dérivons l'existence à partir d'une procédure de régularisation et d'estimations d'énergie parabolique. Nous abordons également la question de l'unicité par un argument de convexité de déplacement.

Le problème principal-agent en économie conduit à des problèmes variationnels soumis à des contraintes globales de b-convexité sur les fonctions admissibles, capturant les contraintes dites de compatibilité incitative. Les exemples typiques sont les problèmes de minimisation soumis à une contrainte de convexité. Dans un article récent, Fi-galli, Kim et McCann [19] ont identifié les conditions qui assurent la convexité du problème principal-agent et ont ainsi suscité l'espoir du développement de méthodes numériques. Nous considérons des cas particuliers de problèmes de projection sur des fonctions b-convexes et montrons comment ils peuvent être résolus numériquement en utilisant l'algorithme de projection itéré de Dykstra pour traiter la contrainte de b-convexité dans le cadre de [19]. Notre méthode s'avère également simple pour les calculs d'enveloppe convexe.

Dans cet article, nous présentons une méthode numérique, basée sur des projections itératives de Bregman, pour résoudre le problème de transport optimal avec un coût de Coulomb. Ce problème est lié à la limite d'interaction forte de la Théorie de la Fonctionnelle de la Densité. La première idée est d'introduire une régularisation entropique de la formulation de Kantorovich du problème de transport optimal. Le problème régularisé correspond alors à la projection d'un vecteur sur l'intersection des contraintes par rapport à la distance de Kullback-Leibler. Les projections itératives de Bregman sur chaque contrainte marginale sont explicites ce qui nous permet d'approximer le plan de transport optimal. Nous validons la méthode numérique par rapport à des cas tests analytiques.

Nous considérons un modèle cinétique unidimensionnel de milieux granulaires dans le cas où le potentiel d'interaction est quadratique. En profitant d'une intégrale première simple, nous pouvons utiliser une reformulation (équivalente au modèle cinétique initial pour les solutions classiques) qui permet des solutions de mesure. Cette reformulation a une structure de flux de gradient de Wasserstein (sur un produit possiblement infini d'espaces de mesures) pour une énergie convexe qui nous permet de prouver le caractère bien posé global en temps.

L'appariement multi-population à l'équilibre (appariement pour les équipes) est un problème d'économie mathématique qui est lié au transport optimal multi-marginal. Un cas particulier mais important est le problème du barycentre de Wasserstein, qui a des applications dans le traitement des images et les statistiques. Deux algorithmes sont présentés : un algorithme de programmation linéaire et un algorithme d'optimisation non lisse efficace, qui s'applique au cas des barycentres de Wasserstein. Les mesures sont approximées par des mesures discrètes : la convergence de l'approximation est prouvée. Des résultats numériques sont présentés pour illustrer l'efficacité des algorithmes.

Pas de résumé disponible.

Nous considérons une région donnée Ω où le trafic s'écoule selon deux régimes : dans une région C nous avons une faible congestion, alors que dans la partie restante Ω∖C la congestion est plus élevée. Les deux fonctions de congestion H1 et H2 sont données, mais la région C doit être déterminée de manière optimale afin de minimiser le coût total de transport. Différents termes de pénalisation sur C sont considérés et quelques calculs numériques sont montrés.

L'appariement multi-population à l'équilibre (appariement pour les équipes) est un problème d'économie mathématique qui est lié au transport optimal multi-marginal. Un cas particulier mais important est le problème du barycentre de Wasserstein, qui a des applications dans le traitement des images et les statistiques. Deux algorithmes sont présentés : un algorithme de programmation linéaire et un algorithme d'optimisation non lisse efficace, qui s'applique au cas des barycentres de Wasserstein. Les mesures sont approximées par des mesures discrètes : la convergence de l'approximation est prouvée. Des résultats numériques sont présentés pour illustrer l'efficacité des algorithmes.

Nous étudions une classe de jeux avec un continuum de joueurs pour lesquels les équilibres de Cournot-Nash peuvent être obtenus par la minimisation d'un certain coût, lié au transport optimal. Ce coût n'est pas convexe au sens habituel en général mais il s'avère avoir des propriétés de convexité stricte cachée dans de nombreux cas pertinents. Ceci nous permet d'obtenir de nouveaux résultats d'unicité et une caractérisation des équilibres en termes de certaines équations différentielles partielles, un schéma numérique simple en dimension un ainsi qu'une analyse de l'inefficacité des équilibres.

Cet article est consacré à diverses méthodes (transport optimal, point fixe, équations différentielles ordinaires) pour obtenir l'existence et/ou l'unicité des équilibres de Cournot-Nash pour des jeux avec un continuum de joueurs ayant des effets attractifs et répulsifs. Nous abordons principalement les situations séparables mais pour lesquelles le jeu n'a pas de potentiel. Nous présentons également plusieurs simulations numériques qui illustrent l'applicabilité de notre approche pour calculer les équilibres de Cournot-Nash.

Cet article détaille un cadre numérique général pour approximer les solutions aux programmes linéaires liés au transport optimal. L'idée générale est d'introduire une régularisation entropique du programme linéaire initial. Ce problème régularisé correspond à une projection de di-vergence de Kullback-Leibler-Bregman d'un vecteur (représentant une certaine distribution conjointe initiale) sur le polytope des contraintes. Nous montrons que pour de nombreux problèmes liés au transport optimal, l'ensemble des contraintes linéaires peut être divisé en une intersection de quelques contraintes simples, pour lesquelles les projections peuvent être calculées en forme fermée. Cela nous permet d'utiliser des projections itératives de Bregman (lorsqu'il n'y a que des contraintes d'égalité) ou plus généralement des itérations de Bregman-Dykstra (lorsque des contraintes d'inégalité sont en jeu). Nous illustrons l'utilité de cette approche pour plusieurs problèmes variationnels liés au transport optimal : barycentres pour la métrique du trans-port optimal, reconstruction tomographique, trans-port optimal multi-marginal et en particulier son application aux solutions relaxées de Brenier des équations d'Euler incompressibles, transport optimal non équilibré partiel et transport optimal avec contraintes de capacité.

Movité par des questions posées par F. Santambrogio, cette thèse est dédiée à l'étude de jeux à champ moyen et des modèles impliquant le transport optimal avec contraintes de densité. A fin d'étudier des modèles de MFG d'ordre deux dans l'esprit des travaux de F. Santambrogio, on introduit en tant que brique élementaire un modèle diffusif de mouvement de foule avec contraintes de densité (en généralisant dans une sense les travaux de Maury et al.). Le modèle est décrit par l'évolutions de la densité de la foule, qui peut être vu comme une courbe dans l'espace de Wasserstein. Du point de vu EDP, ça correspond à une équation de Fokker-Planck modifiée, avec un terme supplémentaire, le gradient d'une pression (seulement dans la zone saturée) dans le drift. En passant par l'équation duale et en utilisant des estimations paraboliques bien connues, on démontre l'unicité du pair densité et pression. Motivé initialement par l'algorithm de splitting (utilisé dans le résultat d'existence ci-dessus), on étudie des propriétés fines de la projection de Wasserstein en dessous d'un seuil donné. Intégrant cette question dans une classe plus grande de problèmes impliquant le transport optimal, on démontre des estimations BV pour les optimiseurs. D'autres applications possibles (en transport partiel, optimisation de forme et problèmes paraboliques dégénérés) de ces estimations BV sont également discutées.En changeant le point de vu, on étudie également des modèles de MFG variationnels avec contraintes de densité. Dans ce sens, les systèmes de MFG sont obtenus comme conditions d'optimalité de premier ordre pour deux problèmes convexes en dualité. Dans ces systèmes un terme additionnel apparaît, interpreté comme un prix à payer quand les agents passent dans des zones saturées. Premièrement, en profitant des résultats de régularité elliptique, on montre l'existence et la caractérisation de solutions des MFG de deuxième ordre stationnaires avec contraintes de densité. Comme résultat additionnel, on caractérise le sous-différentiel d'une fonctionnelle introduite par Benamou-Brenier pour donner une formulation dynamique du problème de transport optimal. Deuxièmement, (basé sur une technique de pénalisation) on montre qu'une classe de systèmes de MFG de premier ordre avec contraintes de densité est bien posée. Une connexion inattendu avec les équations d'Euler incompressible à la Brenier est égalment donnée.

Pas de résumé disponible.

De nombreux problèmes de transport de masse peuvent être reformulés comme des problèmes variationnels sous une contrainte de divergence prescrite (problèmes statiques) ou soumis à une équation de continuité dépendant du temps, qui peut à nouveau être formulée comme une contrainte de divergence mais dans le temps et l'espace. La classe variationnelle des jeux de champ moyen, introduite par Lasry et Lions, peut également être interprétée comme une généralisation du problème de transport optimal dépendant du temps. A la suite de Benamou et Brenier, nous montrons que les méthodes de Lagrange augmentées sont bien adaptées au traitement de tels problèmes convexes mais non lisses. Ils incluent en particulier le problème de transport optimal historique de Monge. Une discrétisation par éléments finis et une implémentation de la méthode sont utilisées pour fournir des simulations numériques et une étude de convergence.

Nous proposons une notion de fonction quantile vectorielle conditionnelle et une régression quantile vectorielle. Une fonction quantile vectorielle conditionnelle (FQVC) d'un vecteur aléatoire Y, prenant des valeurs dans ℝd étant donné des covariables Z=z, prenant des valeurs dans ℝk, est une carte u↦QY∣Z(u,z), qui est monotone, au sens de gradient d'une fonction convexe, et telle que, étant donné que le vecteur U suit une distribution non atomique de référence FU, par exemple une distribution uniforme sur un cube unitaire dans ℝd, le vecteur aléatoire QY∣Z(U,z) a la distribution de Y conditionnellement à Z=z. De plus, nous avons une représentation forte, Y=QY∣Z(U,Z) presque sûrement, pour une certaine version de U. La régression quantile vectorielle (VQR) est un modèle linéaire pour la CVQF de Y étant donné Z. Sous spécification correcte, la notion produit une représentation forte, Y=β(U)⊤f(Z), pour f(Z) désignant un ensemble connu de transformations de Z, où u↦β(u)⊤f(Z) est une carte monotone, le gradient d'une fonction convexe, et les coefficients de régression quantile u↦β(u) ont des interprétations analogues à celle de la régression quantile scalaire standard. Comme f(Z) devient une classe plus riche de transformations de Z, le modèle devient non paramétrique, comme dans la modélisation en série. Une propriété clé de la VQR est l'intégration du problème classique de transport optimal de Monge-Kantorovich à son cœur comme un cas spécial. Dans le cas classique, où Y est scalaire, VQR se réduit à une version du QR classique, et CVQF se réduit à la fonction quantile conditionnelle scalaire. Plusieurs applications à des problèmes divers tels que l'estimation de courbes d'Engel multiples et la mesure du risque financier sont considérées.

Nous considérons une région donnée où le trafic se déroule selon deux régimes : dans une région C, la congestion est faible, tandis que dans le reste de la région C, la congestion est plus élevée. Les deux fonctions de congestion H1 et H2 sont données, mais la région C doit être déterminée de manière optimale afin de minimiser le coût total du transport. Différents termes de pénalisation sur C sont considérés et quelques calculs numériques sont présentés.

Les flux de gradients dans l'espace de Wasserstein sont devenus un outil puissant dans l'analyse des équations de diffusion, suite aux travaux séminaux de Jordan, Kinderlehrer et Otto (JKO). Les applications numériques de cette formulation ont été limitées par la difficulté de calculer la distance de Wasserstein en dimension >= 2. Une étape du schéma JKO est équivalente à un problème variationnel sur l'espace des fonctions convexes, qui implique l'opérateur de Monge-Ampère. Les contraintes de convexité sont particulièrement difficiles à traiter numériquement, mais dans notre cadre, l'énergie interne joue le rôle d'une barrière pour ces contraintes. Cela nous permet d'introduire une discrétisation cohérente, qui hérite des propriétés de convexité du problème variationnel continu. Nous montrons l'efficacité de notre approche sur des modèles non linéaires de diffusion et de mouvement de foule.

Nous obtenons de nouvelles estimations a priori pour les solutions spatialement inhomogènes d'une équation cinétique pour les milieux granulaires, telle que proposée pour la première fois dans [3] et, plus récemment, étudiée dans [1]. En particulier, nous montrons qu'une famille de fonctionnelles convexes sur l'espace des phases est non croissante le long du flux de telles équations, et nous en déduisons des conséquences sur le comportement asymptotique des solutions. En outre, en utilisant une hypothèse supplémentaire sur le noyau d'interaction et un "potentiel d'interaction", nous prouvons une estimation de l'entropie globale dans le cas unidimensionnel.

Nous considérons une région donnée où le trafic se déroule selon deux régimes : dans une région C, la congestion est faible, tandis que dans le reste de la région C, la congestion est plus élevée. Les deux fonctions de congestion H1 et H2 sont données, mais la région C doit être déterminée de manière optimale afin de minimiser le coût total du transport. Différents termes de pénalisation sur C sont considérés et quelques calculs numériques sont présentés.

La notion d'équilibres de Nash joue un rôle clé dans l'analyse des interactions stratégiques dans le cadre de jeux à $N$ joueurs. L'analyse des équilibres de Nash est cependant un problème complexe lorsque le nombre de joueurs est grand. Dans cet article, nous soulignons le rôle de la théorie du transport optimal dans : 1) le passage des équilibres de Nash aux équilibres de Cournot-Nash lorsque le nombre de joueurs tend vers l'infini, 2) l'analyse des équilibres de Cournot-Nash.

Cet article est consacré à diverses méthodes (transport optimal, point fixe, équations différentielles ordinaires) pour obtenir l'existence et/ou l'unicité des équilibres de Cournot-Nash pour des jeux avec un continuum de joueurs ayant des effets attractifs et répulsifs. Nous abordons principalement les situations séparables mais pour lesquelles le jeu n'a pas de potentiel. Nous présentons également plusieurs simulations numériques qui illustrent l'applicabilité de notre approche pour calculer les équilibres de Cournot-Nash.

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Motivés par des applications aux problèmes de transport optimal congestionnés, nous prouvons des résultats d'intégrabilité supérieure pour le gradient des solutions de certaines équations elliptiques anisotropes, présentant une large gamme de dégénérescence. Le cas modèle que nous avons à l'esprit est le suivant : \[ \partial_x \left[(|u_{x}|-\delta_1)_+^{q-1}\, \frac{u_{x}}{|u_{x}|}\right]+\partial_y \left[(|u_{y}|-\delta_2)_+^{q-1}\, \frac{u_{y}}{|u_{y}|\right]=f, \] pour $2\le q<\infty$ et certains paramètres non négatifs $\delta_1,\delta_2$. Ici, $(\,\cdot\,)_+$ représente la partie positive. Nous prouvons que si $f\in L^\infty_{loc}$, alors $\nabla u\in L^r_{loc}$ pour tout $r\ge 1$.

De nombreux problèmes de transport de masse peuvent être reformulés comme des problèmes variationnels sous une contrainte de divergence prescrite (problèmes statiques) ou soumis à une équation de continuité dépendant du temps qui, elle aussi, peut être formulée comme une contrainte de divergence mais dans le temps et l'espace. La classe variationnelle des jeux à champ moyen introduite par Lasry et Lions peut également être interprétée comme une généralisation du problème de transport optimal dépendant du temps. À la suite de Benamou et Brenier, nous montrons que les méthodes de Lagrange augmentées sont bien adaptées au traitement de problèmes convexes mais non lisses. Cela inclut en particulier le problème de transport optimal historique de Monge. Une discrétisation par éléments finis et une implémentation de la méthode sont utilisées pour fournir des simulations numériques et une étude de convergence.

Ce rapport présente l'adaptation de l'algorithme ALG2 [1] en vue de résoudre numériquement des jeux á champ moyens variationnels [5].

Dans cet article, nous étudions la caractérisation des géodésiques pour une classe de distances entre des mesures de probabilité introduites par Dolbeault, Nazaret et Savar e. Nous prouvons d'abord l'existence d'une fonction potentielle, puis nous donnons des conditions d'optimalité nécessaires et suffisantes qui prennent la forme d'un système couplé d'EDP quelque peu similaire au système Mean-Field-Games de Lasry et Lions. Nous considérons également une formulation équivalente posée dans un ensemble de mesures de probabilité sur des courbes.

On considère une économie d'échange dans laquelle les agents ont des préférences incomplètes convexes définies par des familles de fonctions d'utilité concaves. Des conditions suffisantes sont fournies pour que l'ensemble des allocations et des équilibres efficaces coïncide avec l'ensemble des allocations et des équilibres efficaces qui résultent lorsque chaque agent a une utilité dans sa famille. Les théorèmes de bien-être dans un cadre de préférences incomplètes tiennent donc sous ces conditions et les allocations et équilibres efficaces sont caractérisés par des conditions de premier ordre.

Nous considérons $H$ maximisateurs d'utilité espérée qui doivent partager une dotation agrégée multivariée risquée $X 2 R N$ et abordons les deux questions suivantes : le partage efficace du risque implique-t-il des restrictions sur la forme des consommations individuelles en fonction de $X$ ? Peut-on identifier les fonctions d'utilité individuelle à partir de l'observation du partage du risque ? Nous montrons que lorsque $H 2N N 1$ le partage efficace des risques doit satisfaire un système d'EDP non linéaires. Sous une condition de rang supplémentaire, nous prouvons un théorème d'identification.

La recherche menée dans cette thèse propose une contribution à l’analyse du risque sur le marché de l’assurance automobile en France. Trois nouveaux axes sont présentés : le premier axe s’inscrit dans un cadre théorique de marché d’assurance automobile. Un modèle original de double asymétrie d’information est présenté. Le principal résultat qui en découle est l’existence de deux sortes de contrats d’équilibre : un contrat séparateur et un contrat mélangeant. Le deuxième point est lié à la prise en compte de la sinistralité passée dans l’étude de la relation risque - couverture. Des modèles bivariés et trivariés sont appliqués pour cette fin. Il en ressort que l’hypothèse de l’asymétrie d’information est vérifiée. Enfin, la troisième question soulevée dans cette thèse concerne l’application de la surprime aux jeunes conducteurs. Nous montrons par des modélisations économétriques de la sinistralité que la légitimité des assureurs à proposer quasi systématiquement des tarifs plus élevés aux jeunes conducteurs par rapport aux conducteurs expérimentés n'est pas toujours vérifiée.

Cette thèse est dédiée à l’étude de certains problèmes de calcul des variations des fonctionnelles à arguments déviés intervenant par exemple dans les problèmes de contrôle optimal des équations différentielles à arguments déviés et dans les problèmes variationnels à arguments déviés. Nous utilisons la méthode directe pour montrer l’existence du problème à arguments déviés en dimension n > 1dans un espace fonctionnel de type Sobolev à poids relié à la déviation. Ensuite, nous mettons en avant les conditions nécessaires d’optimalité et ce en se basant sur la formule d’aire. Nous obtenons ainsi une equivalence entre un problème sans déviation et un problème avec déviation dans un cadre convexe. Nous montrons aussi une forme du principe de Pontryagin pour une classe de problèmes de contrôle optimal gouvernés par une équation munie d’une mémoire. Quelques exemples d’application sont considérés. Enfin nous complétons par quelques résultats d’existence et d’unicité pour certaines équations elliptiques non-locales dites à argument dévié, rencontrées dans la littérature.

Cette thèse est dédiée à l'étude des problèmes de transport optimal, alternative au problème de Monge-Kantorovich : ils apparaissent naturellement dans des applications pratiques, telles que la conception des réseaux de transport optimal ou la modélisation des problèmes de circulation urbaine. En particulier, nous considérons des problèmes où le coût du transport a une dèpendance non linèaire de la masse : typiquement dans ce type de problèmes, le coût pour déplacer une masse m pour une longueur ℓ est φ (m) ℓ, où φ est une fonction assignée, obtenant ainsi un coût total de type Σ φ (m) ℓ. Deux cas importants sont abordés en détail dans ce travail : le cas où la fonction φ est subadditive (transport ramifié), de sorte que la masse a intérêt à voyager ensemble, de manière à réduire le coût total. le cas où φ est superadditive (transport congestionné), où au contraire, la masse tend à diffuser autant que possible. Dans le cas du transport ramifié, nous introduisons deux nouveaux modèles: dans le premièr, le transport est décrit par des courbes de mesures de probabilité que minimisent une fonctionnelle de type géodésique (avec un coefficient que pénalise le mesures qui ne sont pas atomiques). Le second est plus dans l'esprit de la formulation de Benamou et Brenier pour les distances de Wasserstein, en particulier, le transport est décrit par paires de ``courbe de mesures--champ de vitesse'', liées par l'équation de continuité, qui minimisent une énergie adéquate (non convexe). Pour les deux modèles, on démontre l'existence de configurations minimales et l'équivalence avec d'autres formulations existantes dans la littèrature. En ce qui concerne le cas du transport congestionné, nous passons en revue deux modèles déjà existants, afin de prouver leur équivalence: alors que le premier de ces modèles peut être considéré comme une approche Lagrangienne du problème et il a des liens intéressants avec des questions d'équilibre pour la circulation urbaine, le second est un problème d'optimisation convexe avec contraintes de divergence par La preuve de l'équivalence entre les deux modèles constitue le corps principal de la deuxième partie de cette thèse et contient différents éléments d'intérêt, y compris: la théorie des flots des champs de vecteurs peu réguliers (DiPerna-Lions), la construction de Dacorogna et Moser pour les applications de transport et en particulier les résultats de régularité (que nous prouvons ici) pour une équation elliptique très dégénérés, qui ne semble pas avoir été beaucoup étudiée.

Dans cette thèse on explore l’utilisation du contrôle optimal et du transport de masse pour la modélisation économique. Nous saisissons ainsi l’occasion de réunir plusieurs travaux faisant intervenir ces deux outils, parfois en interactions l’un avec l’autre. Dans un premier temps nous présentons brièvement la récente théorie des jeux à champ moyen introduite par Lasry et Lions et nous concentrons sur le point de vue du contrôle de l’équation de Fokker-Planck. Nous exploitons cet aspect à la fois pour obtenir des résultats d’existence d’équilibres et pour développer des méthodes numériques de résolution. Nous testons les algorithmes dans deux cas complémentaires à savoir le cadre convexe (aversion à la foule, dynamiques à deux populations) et le cadre concave (attraction, externalités et effets d’échelle dans un modèle stylisé de transition technologique). Dans un second temps, nous étudions un problème de matching mêlant tranport optimal et contrôle optimal. Le planificateur cherche un couplage optimal, fixé pour une période donnée (engagement), étant donné que les marges évoluent (éventuellement aléatoirement) de façon contrôlée. Enfin, nous reformulons un problème de partage de risque entre d agents (pour lequel nous prouvons un résultat d’existence) en un problème de contrôle optimal avec contraintes de comonotonie. ceci nous permet d’obtenir des conditions d’optimalité à l’aide desquelles nous construisons un algorithme simple et convergent.

Cette thèse est consacrée à certains problèmes d’optimisation intervenant en théorie des contrats. On s’intéresse d’abord à quelques problèmes monodimensionnels . dans ce cas simple, le programme du principal consiste à la minimisation d’un certain coût sur le cône des fonctions croissantes. On considère des cas non convexes et on utilise une variante de l’inégalité de Hardy-Littlewood. On considère ensuite des problèmes variationnels sous contrainte de convexité. Après avoir donné des résultats d’existence pour des Lagrangiens non convexes, on introduit une pénalisation permettant de retrouver l’équation d’Euler due à Pierre-Louis Lions. Dans un travail en collaboration avec Thomas LachandRobert, on établit ensuite des résultats de régularité C1 des minimiseurs dans diverses situations (Dirichlet, Neumann, modèle de Choné et Rochet. . . ). Enfin, dans un article co-écrit avec Thomas Lachand-Robert et Bertrand Maury, nous exposons une méthode d’approximation numérique de problèmes quadratiques sous contrainte de convexité . l’algorithme présenté est, à notre connaissance, le seul dont la convergence soit établie. Dans la deuxième partie, on caractérise de manière générale les contrats incitatifs au moyen de notions de convexité et de sous-différentiabilité abstraites intervenant dans la théorie du transport de masse et l’on démontre des résultats d'existence de contrats incitatifs optimaux sans spécification fonctionnelle particulière sur les préférences des agents. On utilise ensuite le lien entre la caractérisation des contrats incitatifs et une classe de problèmes de transport optimal. Dans un premier temps, on établit des résultats d'existence, d'unicité et de dualité pour les problèmes de transport de masse où le coût vérifie une hypothèse généralisant celle de Spence-Mirrlees, classique dans la littérature économique en dimension 1. Ceci nous permet, en revenant aux problèmes d’incitation, de de��montrer un principe de réallocation : tout profil d'allocation mesurable peut être réarrangé de manière unique en un profil implémentable, via un problème de transfert optimal adéquat. La dernière partie est consacrée à deux problèmes économiques spécifiques. Le premier est motivé par des questions de fraude à l'assurance qui donnent lieu à un problème non convexe et consiste en un article co-écrit avec Rose-Anne Dana et Maxime Renaudin. Le second a trait à la conception de contrats de travail en présence de sélection adverse bidimensionnelle . il s’agit d’un article co-écrit avec Damien Gaumont.