Convergence des schémas entropiques pour le transport optimal et les flux de gradient.

Résumé Le remplacement des contraintes de positivité par une barrière d'entropie est populaire pour approximer les solutions des programmes linéaires. Dans le cas particulier du problème du transport optimal, cette technique remonte aux premiers travaux de Schrödinger. Cette approche a récemment été utilisée avec succès pour résoudre des problèmes liés au transport optimal dans plusieurs domaines appliqués tels que les sciences de l'image, l'apprentissage automatique et les sciences sociales. La principale raison de ce succès est que, contrairement aux solveurs de programmation linéaire, les algorithmes qui en résultent sont hautement parallélisables et tirent parti de la géométrie de la grille de calcul (par exemple, une image ou un maillage triangulé). La première contribution de cet article est la preuve de la convergence de Γ du problème de transport optimal régularisé entropique vers le problème de Monge-Kantorovich pour la fonction de coût de la norme euclidienne carrée. Ceci implique en particulier la convergence du plan de transport optimal régularisé entropique vers un plan de transport optimal lorsque l'entropie disparaît. Les distances de transport optimales sont également utiles pour définir les flux de gradient comme une limite des étapes d'Euler implicites en fonction de la distance de transport. Notre deuxième contribution est une preuve que les étapes implicites selon la distance entropique régularisée convergent vers le flux de gradient original lorsque la taille de l'étape et la pénalité entropique disparaissent (d'une certaine manière contrôlée).