Méthodes variationnelles pour les équations de Hamilton-Jacobi et applications.

Résumé L’objectif de cette thèse est de proposer des méthodes variationnelles pour l’analyse mathématiques et numérique d’une classe d’équations d’HJ. Le caractère métrique de ces équations permet de caractériser l’ensemble des sous-solutions, à savoir, elles sont 1-Lipschitz par rapport à la distance Finslerienne associée au Hamiltonien. De manière équivalente, cela revient à dire que le gradient de ces fonctions appartient à une certaine boule Finslerienne. La solution recherchée est la sous-solution maximale, qui peut être décrite par une formule du type Hopf-Lax, qui résout un problème de maximisation avec contrainte sur le gradient. Nous dérivons un problème dual associé faisant intervenir la variation totale Finslerienne de mesures vectorielles avec contrainte divergente. Nous exploitons la structure de point-selle pour proposer une résolution numérique avec la méthode du Lagrangien augmenté. Cette caractérisation de l’équation d’HJ montre aussi le lien avec des problèmes de transport optimal vers/depuis le bord. Ce lien avec le transport optimal de masse nous amène à généraliser l’approche d’Evans-Gangbo. En effet, nous montrons que la sous-solution maximale de l’équation d’HJ s’obtient en faisant tendre p→∞ dans une classe de p-Laplaciens de type Finsler avec des obstacles sur le bord. Cela nous permet aussi de construire le flux optimal pour le problème de Beckmann associé. Parmi les applications que l’on regarde, le problème du Shape from Shading qui consiste à reconstruire la surface d’un objet en 3D à partir d’une image en nuances de gris de cet objet.