Projections itératives de Bregman pour les problèmes de transport régularisés.

Résumé Cet article détaille un cadre numérique général pour approximer les solutions aux programmes linéaires liés au transport optimal. L'idée générale est d'introduire une régularisation entropique du programme linéaire initial. Ce problème régularisé correspond à une projection de di-vergence de Kullback-Leibler-Bregman d'un vecteur (représentant une certaine distribution conjointe initiale) sur le polytope des contraintes. Nous montrons que pour de nombreux problèmes liés au transport optimal, l'ensemble des contraintes linéaires peut être divisé en une intersection de quelques contraintes simples, pour lesquelles les projections peuvent être calculées en forme fermée. Cela nous permet d'utiliser des projections itératives de Bregman (lorsqu'il n'y a que des contraintes d'égalité) ou plus généralement des itérations de Bregman-Dykstra (lorsque des contraintes d'inégalité sont en jeu). Nous illustrons l'utilité de cette approche pour plusieurs problèmes variationnels liés au transport optimal : barycentres pour la métrique du trans-port optimal, reconstruction tomographique, trans-port optimal multi-marginal et en particulier son application aux solutions relaxées de Brenier des équations d'Euler incompressibles, transport optimal non équilibré partiel et transport optimal avec contraintes de capacité.