Calcul des variations et contrôle optimal avec arguments déviés.

Résumé Cette thèse est dédiée à l’étude de certains problèmes de calcul des variations des fonctionnelles à arguments déviés intervenant par exemple dans les problèmes de contrôle optimal des équations différentielles à arguments déviés et dans les problèmes variationnels à arguments déviés. Nous utilisons la méthode directe pour montrer l’existence du problème à arguments déviés en dimension n > 1dans un espace fonctionnel de type Sobolev à poids relié à la déviation. Ensuite, nous mettons en avant les conditions nécessaires d’optimalité et ce en se basant sur la formule d’aire. Nous obtenons ainsi une equivalence entre un problème sans déviation et un problème avec déviation dans un cadre convexe. Nous montrons aussi une forme du principe de Pontryagin pour une classe de problèmes de contrôle optimal gouvernés par une équation munie d’une mémoire. Quelques exemples d’application sont considérés. Enfin nous complétons par quelques résultats d’existence et d’unicité pour certaines équations elliptiques non-locales dites à argument dévié, rencontrées dans la littérature.