Sur certaines équations elliptiques anisotropes apparaissant dans le transport optimal congestionné : Limites locales du gradient.

Résumé Motivés par des applications aux problèmes de transport optimal congestionnés, nous prouvons des résultats d'intégrabilité supérieure pour le gradient des solutions de certaines équations elliptiques anisotropes, présentant une large gamme de dégénérescence. Le cas modèle que nous avons à l'esprit est le suivant : \[ \partial_x \left[(|u_{x}|-\delta_1)_+^{q-1}\, \frac{u_{x}}{|u_{x}|}\right]+\partial_y \left[(|u_{y}|-\delta_2)_+^{q-1}\, \frac{u_{y}}{|u_{y}|\right]=f, \] pour $2\le q<\infty$ et certains paramètres non négatifs $\delta_1,\delta_2$. Ici, $(\,\cdot\,)_+$ représente la partie positive. Nous prouvons que si $f\in L^\infty_{loc}$, alors $\nabla u\in L^r_{loc}$ pour tout $r\ge 1$.