Problèmes de calcul des variations issus de la théorie des contrats.

Résumé Cette thèse est consacrée à certains problèmes d’optimisation intervenant en théorie des contrats. On s’intéresse d’abord à quelques problèmes monodimensionnels . dans ce cas simple, le programme du principal consiste à la minimisation d’un certain coût sur le cône des fonctions croissantes. On considère des cas non convexes et on utilise une variante de l’inégalité de Hardy-Littlewood. On considère ensuite des problèmes variationnels sous contrainte de convexité. Après avoir donné des résultats d’existence pour des Lagrangiens non convexes, on introduit une pénalisation permettant de retrouver l’équation d’Euler due à Pierre-Louis Lions. Dans un travail en collaboration avec Thomas LachandRobert, on établit ensuite des résultats de régularité C1 des minimiseurs dans diverses situations (Dirichlet, Neumann, modèle de Choné et Rochet. . . ). Enfin, dans un article co-écrit avec Thomas Lachand-Robert et Bertrand Maury, nous exposons une méthode d’approximation numérique de problèmes quadratiques sous contrainte de convexité . l’algorithme présenté est, à notre connaissance, le seul dont la convergence soit établie. Dans la deuxième partie, on caractérise de manière générale les contrats incitatifs au moyen de notions de convexité et de sous-différentiabilité abstraites intervenant dans la théorie du transport de masse et l’on démontre des résultats d'existence de contrats incitatifs optimaux sans spécification fonctionnelle particulière sur les préférences des agents. On utilise ensuite le lien entre la caractérisation des contrats incitatifs et une classe de problèmes de transport optimal. Dans un premier temps, on établit des résultats d'existence, d'unicité et de dualité pour les problèmes de transport de masse où le coût vérifie une hypothèse généralisant celle de Spence-Mirrlees, classique dans la littérature économique en dimension 1. Ceci nous permet, en revenant aux problèmes d’incitation, de de��montrer un principe de réallocation : tout profil d'allocation mesurable peut être réarrangé de manière unique en un profil implémentable, via un problème de transfert optimal adéquat. La dernière partie est consacrée à deux problèmes économiques spécifiques. Le premier est motivé par des questions de fraude à l'assurance qui donnent lieu à un problème non convexe et consiste en un article co-écrit avec Rose-Anne Dana et Maxime Renaudin. Le second a trait à la conception de contrats de travail en présence de sélection adverse bidimensionnelle . il s’agit d’un article co-écrit avec Damien Gaumont.