EKELAND Ivar

Dans cet article, nous présentons un nouvel algorithme pour résoudre des équations fonctionnelles non linéaires perturbées qui admettent une linéarisation inversible à droite, mais dont l'inverse perd des dérivées et peut exploser lorsque le paramètre de perturbation $\epsilon$ devient nul. Ces équations sont de la forme $F_\epsilon(u)=v$ avec $F_\epsilon(0)=0$, $v$ petit et donné, $u$ petit et inconnu. La principale différence avec l'algorithme désormais classique de Nash-Moser est que, au lieu d'utiliser un schéma de Newton régularisé, nous résolvons une séquence de problèmes de Galerkin grâce à un argument topologique.

Nous donnons un nouvel aperçu du comportement dynamique des prix des produits de base à l'aide d'un modèle d'équilibre à attentes rationnelles à horizon infini pour les prix au comptant et à terme des produits de base. Les simulations numériques du modèle soulignent l'hétérogénéité qui existe dans le comportement des prix des matières premières en montrant le lien entre les caractéristiques physiques d'un marché et certains faits stylisés des prix à terme des matières premières. Elles montrent l'impact des coûts de stockage à la fois sur la variabilité de la base et sur l'effet Samuelson. Enfin, les simulations du modèle montrent qu'une augmentation de l'activité spéculative sur les marchés à terme de matières premières a un effet positif global sur les primes de risque. Cependant, tous les agents n'en bénéficient pas.

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"Cette BD facile à lire fascine par les histoires des découvertes, des trouvailles géniales de leurs auteurs. Les algorithmes, la découverte du nombre Pi, celle de la corde à 13 noeuds, le calcul du tour de la terre, l'invention du jeu d'échecs, la résolution des équations. Dix histoires toutes plus extraordinaires les unes que les autres se côtoient pour le plaisir des plus jeunes comme des plus grands.".

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La quatrième de couverture indique : "Une malheureuse grenouille mise à cuire dans une marmite tolère une élévation régulière de la température de l'eau, alors qu'un ébouillantement brutal la ferait réagir aussitôt. De même, le réchauffement climatique est insidieux : il n'est perceptible qu'à l'échelle de la décennie, voire du siècle, n'implique aucune décision urgente et, de fait, est régulièrement repoussé sur l'agenda des politiques dont l'horizon excède rarement quelques années. Or, dans le domaine de l'environnement, le délai entre l'action et son impact est au minimum de cinquante ans. Seul un point de vue éthique et anthropologique prenant en compte la survie de l'espèce humaine pourrait résoudre le dilemme, mais en tant qu'Homo oeconomicus nous sommes des individus calculateurs agissant par intérêt personnel, et pour lesquels l'environnement est une ressource infinie et gratuite. Dans le jeu économique ordinaire, il n'y a pas de «taux d'intérêt écologique», comme le montre l'inéluctable disparition, sous l'effet des lois économiques, des ressources halieutiques. C'est donc à une conception plus large de l'humanité et à un renouveau de l'éthique que nous convie l'auteur, à défaut de voir l'espèce humaine, victime de la pensée économique, partager le triste sort de la morue, du thon rouge. et de la grenouille.".

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Il s'agit d'un exposé présenté à la conférence "Mathematics in a Complex World", à l'occasion du 150e anniversaire du Politecnico di Milano. L'asymétrie d'information, c'est-à-dire la possibilité pour les êtres humains de cacher leurs informations, ou de ne pas tenir leurs promesses, est un fait fondamental de la vie sociale, et doit être prise en compte. Je montrerai comment cela crée de la complexité, même dans la situation très simple d'un contrat entre deux parties, dont l'une s'engage à travailler pour l'autre, mais ne peut être contrôlée.

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Nous revisitons le modèle néo-classique de croissance optimale en introduisant un terme supplémentaire, dû à Chichilnisky, qui incarne la préoccupation de la société pour le bien-être à long terme des générations futures. Nous montrons que ce terme supplémentaire entraîne une incohérence temporelle et qu'il n'existe donc pas de solution optimale. Cependant, nous introduisons une notion de solution d'équilibre et nous prouvons qu'il existe un continuum de telles solutions.

Cet article présente une dualité entre la théorie des préférences révélées d'Afriat et le problème d'allocation de logement de Shapley et Scarf. En particulier, il est montré que le théorème d'Afriat peut être interprété comme un théorème de second bien-être dans le problème du logement. En utilisant cette dualité, le problème des préférences révélées est connecté à un problème d'affectation optimale, et une caractérisation géométrique de la rationalisabilité des données d'expérience est donnée. Ceci permet à son tour de donner de nouveaux indices de rationalisabilité des données et de définir des notions plus faibles de rationalisabilité, dans l'esprit de l'indice d'efficacité d'Afriat.

Nous imbriquons un modèle de pêche classique, où la politique optimale suit un chemin d'approche le plus rapide vers un état stable, dans un cadre de générations chevauchantes. La génération actuelle actualise les flux d'utilité des générations futures׳ à un taux éventuellement différent du taux pur de préférence temporelle utilisé pour actualiser ses propres flux d'utilité. Le modèle résultant a des taux d'actualisation non constants, conduisant à une incohérence temporelle. L'unique équilibre parfait de Markov de ce modèle présente une caractéristique frappante : à condition que la génération actuelle se préoccupe de ceux qui ne sont pas encore nés, la politique d'équilibre ne dépend pas du degré de cette préoccupation.

Cette thèse est consacrée à certains problèmes d’optimisation intervenant en théorie des contrats. On s’intéresse d’abord à quelques problèmes monodimensionnels . dans ce cas simple, le programme du principal consiste à la minimisation d’un certain coût sur le cône des fonctions croissantes. On considère des cas non convexes et on utilise une variante de l’inégalité de Hardy-Littlewood. On considère ensuite des problèmes variationnels sous contrainte de convexité. Après avoir donné des résultats d’existence pour des Lagrangiens non convexes, on introduit une pénalisation permettant de retrouver l’équation d’Euler due à Pierre-Louis Lions. Dans un travail en collaboration avec Thomas LachandRobert, on établit ensuite des résultats de régularité C1 des minimiseurs dans diverses situations (Dirichlet, Neumann, modèle de Choné et Rochet. . . ). Enfin, dans un article co-écrit avec Thomas Lachand-Robert et Bertrand Maury, nous exposons une méthode d’approximation numérique de problèmes quadratiques sous contrainte de convexité . l’algorithme présenté est, à notre connaissance, le seul dont la convergence soit établie. Dans la deuxième partie, on caractérise de manière générale les contrats incitatifs au moyen de notions de convexité et de sous-différentiabilité abstraites intervenant dans la théorie du transport de masse et l’on démontre des résultats d'existence de contrats incitatifs optimaux sans spécification fonctionnelle particulière sur les préférences des agents. On utilise ensuite le lien entre la caractérisation des contrats incitatifs et une classe de problèmes de transport optimal. Dans un premier temps, on établit des résultats d'existence, d'unicité et de dualité pour les problèmes de transport de masse où le coût vérifie une hypothèse généralisant celle de Spence-Mirrlees, classique dans la littérature économique en dimension 1. Ceci nous permet, en revenant aux problèmes d’incitation, de de��montrer un principe de réallocation : tout profil d'allocation mesurable peut être réarrangé de manière unique en un profil implémentable, via un problème de transfert optimal adéquat. La dernière partie est consacrée à deux problèmes économiques spécifiques. Le premier est motivé par des questions de fraude à l'assurance qui donnent lieu à un problème non convexe et consiste en un article co-écrit avec Rose-Anne Dana et Maxime Renaudin. Le second a trait à la conception de contrats de travail en présence de sélection adverse bidimensionnelle . il s’agit d’un article co-écrit avec Damien Gaumont.

Ce travail se décompose en trois volets. Le premier présente une application strictement financière . le second porte sur le domaine spécifique de la réassurance . enfin le troisième étudie un exemple d'interaction entre ces deux domaines. Le premier volet, spécifique au domaine stochastique de la finance dans le cadre d'un marché complet, fournit des expressions explicites de la généralisation du modèle de Black et Scholes au cas particulier de l'évaluation et la gestion d'une option portant sur une fonction homographique de deux sous-jacents corrélés qui versent des dividendes. Le deuxième volet présente la construction et l'analyse économétrique d'indices de prix de marché pour les traités excess de réassurance des catastrophes naturelles aux Etats-Unis. Se basant sur une collection significative de données, la partie empirique porte sur la période 1975 à 1993. Les deux types d'indicateurs de prix fournis (l'un qualitatif, l'autre quantitatif) permettent de mettre en place à leur tour, deux types de protocoles de mesure d'efficience : celui intrinsèque au marché, et celui du portefeuille de la compagnie par rapport au marché. Le troisième volet, spécifique au calcul stochastique et à l'économétrie, s'intéresse au marché financier organisé portant sur des contrats à terme de réassurance des catastrophes naturelles (négociés au Chicago Board of Trade à partir de 1993). Diverses propositions d'optimisations fonctionnelles sont présentées. L'idée exposée consiste à retenir un indice de prix de marché représentatif du marché financier permettant d'introduire : une famille de tribus d'informations convergeant vers une tribu continue d'information, et un indice de référence, dans le cadre de ce marché incomplet. Enfin, est proposée à titre d'exemple, une méthode de valorisation et de gestion en adéquation avec la gestion d'un portefeuille de réassurance.

Ce travail comporte deux parties. La première partie traite de l'existence de trajectoires hamiltoniennes périodiques sur certaines sous-variétés de r#2#n, intersections d'hyper surfaces de niveau de plusieurs fonctions hamiltoniennes en involution. On précise la notion de trajectoire périodique pour de telles sous-variétés et on définit une condition de contact qui assure l'existence d'au moins une trajectoire périodique. On démontre également qu'une sous-variété satisfaisant à la condition de contact a une capacité symplectique strictement positive. La deuxième partie étudie les solutions périodiques pour le problème du billard dans un ouvert borne de r#n limites de solutions régulières de systèmes lagrangiens avec puits de potentiel. Le résultat principal établit un lien précis entre l'indice de morse des solutions approchées (considérées comme points critiques de fonctionnelles lagrangiennes) et certaines propriétés de la trajectoire périodique de billard limite.

Dans cette thèse, nous proposons une approche variationnelle au problème de l'existence et de la multiplicité d'orbites homoclones de systèmes hamiltoniens. Les hamiltoniens considérés sont définis sur un espace vectoriel réel de dimension paire muni de la forme symplectique usuelle. Ils possèdent un équilibre hyperbolique, et l'on appelle orbites homoclines, des solutions non constantes qui tendent vers cet équilibre dans les deux directions infinies du temps. Nous obtenons l'existence d'une ou plusieurs de ces orbites sous des hypothèses globales portant sur le hamiltonien. Dans la première partie de cette thèse, le hamiltonien dépend périodiquement du temps. Sous des hypothèses de convexité et de superquadraticité, nous montrons l'existence d'une infinité d'orbites homoclines, sans la condition classique de transversalité. Notre résultat se présente sous la forme d'une alternative: ou bien les orbites homoclines sont en quantité non dénombrable, ou bien il existe un ensemble infini d'orbites homoclines, possédant une structure particulière que nous appelons décalage de Bernoulli approché. Dans ce second cas, l'entropie topologique du système est strictement positive. Dans la deuxième partie, le système hamiltonien est autonome. Nous présentons le premier résultat d'existence d'orbites homoclones sous des hypothèses invariantes par transformations symplectiques.

Le présent travail est orienté selon deux directions de recherche. Il a été réalisé sous la direction d'Ivar Ekeland. La première partie se place dans le cadre de la théorie des systèmes hamiltoniens. On utilise une approche variationnelle et le principe de la dualité de Clarke, le but de l'étude étant de développer des méthodes numériques pour trouver les solutions d'équations du premier et du second ordre afin d'étudier leur index. On présente deux méthodes, l'une donnant un grand nombre de solutions mais ceci au prix de l'absence de contrôle sur les solutions obtenues (en particulier sur leur index), l'autre liée au théorème du col, d'Ambrosetti et Rabinowitz, assurant de trouver des solutions d'index 1. Dans ce dernier cas on a recherché, sur un exemple, des estimations asymptotiques des solutions trouvées. La deuxième partie s'intéresse à des problèmes de mathématiques financières, concernant l'évaluation d'actifs contingents, domaine qui a connu un fort développement ces dernières années. Cette partie a été codirigée par Guy Barles. On considère d'une part l'étude d'un modèle markovien à deux facteurs pour des actifs contingents. On présente l'implémentation d'une méthode numérique. D'autre part on considère un modèle d'évaluation d'options dépendant de l'histoire du cours sous-jacent. On présente également l'implémentation numérique du modèle.

Nous présentons ici une approche variationnelle des trajectoires presque-périodiques des équations différentielles d'Euler-Lagrange. Le calcul des variations en moyenne consiste à étudier des fonctionnelles non linéaires en moyenne temporelle définies sur des espaces de fonctions presque-périodiques. Les points critiques de ces fonctionnelles sont alors exactement les solutions presque-périodiques d'équations d'Euler-Lagrange. On obtient ainsi des résultats sur la structure de l'ensemble des solutions presque-périodiques et périodiques des équations autonomes à lagrangiens convexes. On construit des espaces de fonctions presque-périodiques du type espaces de Sobolev. ce qui induit une notion de solution presque-périodique faible. Avec ces espaces, qui sont des espaces de Hilbert, on obtient des théorèmes d'existence de solutions presque-périodiques pour des équations forcées presque-périodiquement.

Dans ce travail, on s'intéresse à l'étude des solutions périodiques de l'équation de Hill: q+k q/q#32j q3#2aq=0. On montre que pour période t>0 fixée, il existe aux moins deux solutions anti-t/2 périodiques de l'équation de Hill au voisinage d'une variété des solutions circulaires de l'équation de Kepler, et ceci pour des petites valeurs de. Ensuite, on relie ces solutions anti-t/2 périodiques aux solutions circulaires de l'équation de Kepler par l'application du théorème des fonctions implicites. Ceci nous conduit à un développement de Taylor de solutions anti-t/2 périodiques de l'équation de Hill en fonction du paramètre et de la période t. On se sert de ce développement pour faire une expérience numérique dont le but est de vérifier les résultats théoriques. On termine par une étude des multiplicateurs de Floquet des solutions anti-t/2 périodiques de l'équation de Hill, en particulier on montre que les multiplicateurs de Floquet des solutions circulaires de l'équation Kepler sont tous égaux à 1.