Etude des solutions périodiques de certains systèmes hamiltoniens : systèmes ayant des intégrales premières non triviales. Problème du billard.

Résumé Ce travail comporte deux parties. La première partie traite de l'existence de trajectoires hamiltoniennes périodiques sur certaines sous-variétés de r#2#n, intersections d'hyper surfaces de niveau de plusieurs fonctions hamiltoniennes en involution. On précise la notion de trajectoire périodique pour de telles sous-variétés et on définit une condition de contact qui assure l'existence d'au moins une trajectoire périodique. On démontre également qu'une sous-variété satisfaisant à la condition de contact a une capacité symplectique strictement positive. La deuxième partie étudie les solutions périodiques pour le problème du billard dans un ouvert borne de r#n limites de solutions régulières de systèmes lagrangiens avec puits de potentiel. Le résultat principal établit un lien précis entre l'indice de morse des solutions approchées (considérées comme points critiques de fonctionnelles lagrangiennes) et certaines propriétés de la trajectoire périodique de billard limite.