Problèmes numériques issus du calcul des variations et de la finance mathématiques.

Résumé Le présent travail est orienté selon deux directions de recherche. Il a été réalisé sous la direction d'Ivar Ekeland. La première partie se place dans le cadre de la théorie des systèmes hamiltoniens. On utilise une approche variationnelle et le principe de la dualité de Clarke, le but de l'étude étant de développer des méthodes numériques pour trouver les solutions d'équations du premier et du second ordre afin d'étudier leur index. On présente deux méthodes, l'une donnant un grand nombre de solutions mais ceci au prix de l'absence de contrôle sur les solutions obtenues (en particulier sur leur index), l'autre liée au théorème du col, d'Ambrosetti et Rabinowitz, assurant de trouver des solutions d'index 1. Dans ce dernier cas on a recherché, sur un exemple, des estimations asymptotiques des solutions trouvées. La deuxième partie s'intéresse à des problèmes de mathématiques financières, concernant l'évaluation d'actifs contingents, domaine qui a connu un fort développement ces dernières années. Cette partie a été codirigée par Guy Barles. On considère d'une part l'étude d'un modèle markovien à deux facteurs pour des actifs contingents. On présente l'implémentation d'une méthode numérique. D'autre part on considère un modèle d'évaluation d'options dépendant de l'histoire du cours sous-jacent. On présente également l'implémentation numérique du modèle.