Sur la convergence des valeurs propres extrémales des matrices de covariance empiriques avec dépendance.

Résumé Considérons un échantillon d'un vecteur aléatoire centré avec une matrice de covariance unitaire. Nous montrons que sous certaines hypothèses de régularité, et jusqu'à une échelle naturelle, les plus petites et les plus grandes valeurs propres de la matrice de covariance empirique convergent, lorsque la dimension et la taille de l'échantillon tendent toutes deux vers l'infini, vers les bords gauche et droit de la distribution de Marchenko-Pastur. Les hypothèses sont liées aux queues des normes des projections orthogonales. Elles couvrent les vecteurs aléatoires isotropes log-concaves ainsi que les vecteurs aléatoires avec des coordonnées i.i.d. avec des conditions de moment presque optimales. La méthode est un raffinement de l'approche de mise à jour du rang un utilisée par Srivastava et Vershynin pour produire des estimations quantitatives non asymptotiques. En d'autres termes, nous fournissons une nouvelle preuve du théorème de Bai et Yin en utilisant des outils de base de la théorie des probabilités et de l'algèbre linéaire, ainsi qu'une nouvelle extension de ce théorème aux matrices aléatoires à entrées dépendantes.