CHAFAI Djalil

Les gaz de Coulomb sont des distributions de probabilité spéciales, liées à la théorie du potentiel, qui apparaissent à de nombreux endroits en mathématiques et en physique pures et appliquées. Dans ces courtes notes explicatives, nous nous concentrons sur certains modèles, idées et structures. Nous présentons brièvement certains aspects mathématiques, principalement liés à la solvabilité exacte et à l'asymptotique globale du premier et du second ordre. Une attention particulière est consacrée aux modèles bidimensionnels exactement solvables de la théorie des matrices aléatoires, comme le modèle de Ginibre. Du point de vue thématique, ces notes se situent entre la théorie des probabilités, l'analyse mathématique et la physique statistique, et se veulent très accessibles. Elles constituent une contribution à un volume de la série " Panoramas et Synthèses " autour du workshop " États de la recherche en mécanique statistique ", organisé par la Société Mathématique de France, qui s'est tenu à l'Institut Henri Poincaré, Paris, à l'automne 2018 (https://statmech2018.sciencesconf.org).

Nous étudions le processus de diffusion de Dyson-Ornstein-Uhlenbeck, un gaz évolutif de particules en interaction. Sa loi invariante est l'ensemble beta Hermite de la théorie des matrices aléatoires, une distribution log-concave sans produit. Nous explorons la convergence vers l'équilibre de ce processus pour diverses distances ou divergences, notamment la variation totale, l'entropie et Wasserstein. Lorsque le nombre de particules est envoyé à l'infini, nous montrons qu'un phénomène de coupure se produit : la distance à l'équilibre disparaît à un moment critique. Une caractéristique remarquable est que ce temps critique est indépendant du paramètre beta qui contrôle la force de l'interaction, en particulier le résultat est identique dans le cas sans interaction, qui n'est rien d'autre que le processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous fournissons également une analyse complète du cas de non-interaction qui révèle quelques nouveaux phénomènes. Notre travail s'appuie entre autres sur la convexité et les inégalités fonctionnelles, la solvabilité exacte, les formules gaussiennes exactes, les arguments de couplage, le calcul stochastique, les formules variationnelles et les propriétés de contraction. Ce travail conduit, au-delà du processus spécifique que nous étudions, à des questions sur l'analyse en haute dimension des noyaux de chaleur des diffusions courbes.

Le but de cette note est de fournir une extension à un champ externe quadratique d'un résultat classique de Marcel Riesz pour la mesure d'équilibre sur une boule par rapport aux $s$-noyaux de Riesz, y compris le noyau logarithmique, dans des dimensions arbitraires. La mesure d'équilibre est une distribution arcsine radiale. Comme corollaire, nous obtenons de nouvelles identités intégrales impliquant des fonctions spéciales telles que les intégrales elliptiques et plus généralement les fonctions hypergéométriques. Ces identités ne se trouvent pas dans les tables existantes pour les séries et les intégrales, et ne sont pas reconnues par les logiciels mathématiques avancés. Entre autres, nos preuves impliquent la caractérisation variationnelle d'Euler-Lagrange, la formule de Funk-Hecke et le lemme de Weyl pour la régularité des équations elliptiques.

Cet ouvrage rassemble une série d’articles courts écrits par des chercheurs et chercheuses de l'Université Paris Dauphine - PSL, et leurs co-auteurs, au cours de l’été 2020. Dans le cadre de leurs travaux de recherche, et d’un groupe de travail pluridisciplinaire créé dès mars 2020, ils et elles se sont penchés sur ces questions sous l’angle propre à leur discipline : économie, gestion, sociologie et sciences politiques, droits, mathématiques et informatique. Ce recueil apporte une contribution à l’analyse de la crise et aux réponses qui y ont été apportées à ce jour, à ce que celle-ci a révélé de nos sociétés. Il souligne la complexité de la crise et l’importance de mobiliser des équipes pluridisciplinaires sur des enjeux sociétaux aux multiples facettes.

Cette note, essentiellement expositive, est consacrée aux inégalités de Poincaré et de log-Sobolev pour une classe de mesures de Boltzmann-Gibbs avec interaction singulière. De telles mesures permettent de modéliser des particules unidimensionnelles avec confinement et interaction singulière par paire. Les inégalités fonctionnelles proviennent de la convexité. Nous prouvons et caractérisons l'optimalité dans le cas d'un confinement quadratique via une factorisation de la mesure. Ce phénomène d'optimalité est valable pour tous les ensembles d'Hermite bêta, y compris l'ensemble unitaire gaussien, un célèbre modèle exactement soluble de la théorie des matrices aléatoires. Nous approfondissons la solvabilité exacte en examinant la relation avec la dynamique de diffusion de Dyson-Ornstein-Uhlenbeck admettant les polynômes orthogonaux de Hermite-Lassalle comme un ensemble complet de fonctions propres. Nous discutons également de la conséquence de l'inégalité log-Sobolev en termes de concentration de mesure pour les fonctions Lipschitz telles que les maxima et les statistiques linéaires.

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Considérons une matrice aléatoire carrée avec des entrées indépendantes et identiquement distribuées de moyenne zéro et de variance unitaire. Nous montrons que lorsque la dimension tend vers l'infini, le rayon spectral est équivalent à la racine carrée de la dimension en probabilité. Ce résultat peut également être considéré comme la convergence du support dans le théorème de la loi circulaire sous des conditions de moment optimal. Dans la preuve, nous établissons la convergence en loi du polynôme caractéristique réciproque vers une fonction analytique aléatoire en dehors du disque unitaire, liée à une fonction analytique gaussienne hyperbolique. La preuve est courte et diffère des approches habituelles pour le rayon spectral. Elle s'appuie sur un argument d'étanchéité et un phénomène de limite centrale conjointe pour les traces de puissances fixes.

Nous considérons un jellium de Wigner classique unidimensionnel, pas nécessairement de charge neutre, pour lequel les électrons sont autorisés à exister au-delà du support de la charge de fond. Le modèle peut être considéré comme un gaz de Coulomb unidimensionnel dans lequel le champ externe est généré par un fond étalé sur un intervalle. Il s'agit d'un véritable gaz de Coulomb unidimensionnel et non d'un log-gaz unidimensionnel. Nous observons d'abord que le système existe si et seulement si la charge totale du fond est supérieure au nombre d'électrons moins un. De plus, nous obtenons une représentation probabiliste de type R'enyi pour les statistiques d'ordre du système de particules au-delà du support du fond. De plus, pour différents fonds, nous montrons la convergence vers des processus ponctuels, au bord du support du fond. En particulier, cela fournit une analyse asymptotique des fluctuations de la particule la plus à droite. Notre analyse révèle que ces fluctuations ne sont pas universelles, dans le sens où, selon le contexte, les queues vont d'un comportement exponentiel à un comportement de type gaussien, y compris par exemple un comportement de type Tracy-Widom.

Cette note, essentiellement expositive, est consacrée aux inégalités de Poincaré et de log-Sobolev pour une classe de mesures de Boltzmann-Gibbs avec interaction singulière. De telles mesures permettent de modéliser des particules unidimensionnelles avec confinement et interaction singulière par paire. Les inégalités fonctionnelles proviennent de la convexité. Nous prouvons et caractérisons l'optimalité dans le cas d'un confinement quadratique via une factorisation de la mesure. Ce phénomène d'optimalité est valable pour tous les ensembles d'Hermite bêta, y compris l'ensemble unitaire gaussien, un célèbre modèle exactement soluble de la théorie des matrices aléatoires. Nous approfondissons la solvabilité exacte en examinant la relation avec la dynamique de diffusion de Dyson-Ornstein-Uhlenbeck qui admet les polynômes orthogonaux de Hermite-Lassalle comme un ensemble complet de fonctions propres. Nous discutons également de la conséquence de l'inégalité log-Sobolev en termes de concentration de mesure pour les fonctions Lipschitz telles que les maxima et les statistiques linéaires.

Nous considérons un gaz de Coulomb planaire dans lequel le potentiel externe est généré par un fond uniforme de charge de signe opposé étalé sur un disque. Ce modèle peut être vu comme un jellium de Wigner bidimensionnel, pas nécessairement neutre en charge, et dont les particules peuvent exister au-delà du support de la charge étalée. La condition d'intégrabilité dans tout l'espace requiert une température suffisamment basse ou une charge maculée totale suffisamment élevée. Cette condition ne permet pas à la fois la neutralité totale de la charge et la structure déterminante. Le modèle partage des similarités avec l'ensemble complexe de Ginibre et l'ensemble sphérique de Forrester--Krishnapur de la théorie des matrices aléatoires. En particulier, pour un certain régime de température et de charge totale, la mesure d'équilibre est uniforme sur un disque comme dans l'ensemble de Ginibre, tandis que le module de la particule la plus éloignée a des fluctuations à queue lourde comme dans l'ensemble sphérique de Forrester--Krishnapur. Nous abordons également un régime à plus haute température produisant une mesure d'équilibre croisée, ainsi qu'une transition vers des fluctuations de bord de Gumbel. D'autres résultats dans le même esprit sur les fluctuations de bord sont explorés par le deuxième auteur avec Raphael Butez.

Ces notes de cours couvrent les notions de probabilités au programme de l’agrégation interne de mathématiques. Elles ne constituent pas des modèles de leçons d’oral.

Nous considérons des modèles de gaz de Coulomb pour lesquels la mesure empirique se concentre typiquement, lorsque le nombre de particules devient grand, sur une mesure d'équilibre minimisant une énergie électrostatique. Nous étudions le comportement lorsque le gaz est conditionné par un événement rare. Nous montrons d'abord que le cas particulier de confinement quadratique et de contrainte linéaire est exactement solvable grâce à une factorisation remarquable, et que le conditionnement a alors pour simple effet de déplacer le nuage de particules sans déformation. Pour aborder des cas plus généraux, nous effectuons une analyse théorique asymptotique en nous appuyant sur une technique de grandes déviations connue sous le nom de principe de conditionnement de Gibbs. La partie technique revient à établir que l'ensemble conditionné est un ensemble de I-continuité de l'énergie. Cela conduit à caractériser la mesure d'équilibre conditionnée comme la solution d'un problème variationnel modifié. Pour simplifier, nous nous concentrons sur les statistiques linéaires et sur les contraintes statistiques quadratiques. Enfin, nous illustrons numériquement nos prédictions et explorons les cas dans lesquels aucune solution explicite n'est connue. Pour cela, nous utilisons un algorithme de Monte Carlo hybride généralisé pour l'échantillonnage de la distribution conditionnée pour un système fini mais de grande taille.

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Nous étudions le comportement à long terme de la dynamique de particules Brow-niennes planes en interaction, confinées par un champ externe et soumises à une répulsion de paire singulière. La loi invariante est une mesure échangeable Boltzmann - Gibbs. Pour une température inverse particulière, elle correspond au gaz de Coulomb connu sous le nom d'ensemble complexe de Ginibre. La difficulté vient de l'interaction qui n'est pas convexe, contrairement au cas des gaz logarithmiques unidimensionnels associés au mouvement brownien de Dyson. Malgré le fait que la loi invariante n'est ni produit ni log-concave, nous montrons que le système est bien posé pour toute température inverse et que des inégalités de Poincaré sont disponibles. De plus, la dynamique du second moment s'avère être un beau processus de Cox - Ingersoll - Ross dans lequel la dépendance du nombre de particules permet d'identifier deux régimes naturels liés au comportement du bruit et à la vitesse de la dynamique.

Les gaz de Coulomb et les gaz logarithmiques sont des mesures singulières échangeables de Boltzmann-Gibbs qui apparaissent en physique mathématique à de nombreux endroits, en particulier dans la théorie des matrices aléatoires. Nous explorons expérimentalement une méthode numérique efficace pour simuler de tels gaz. Il s'agit d'une instance de l'algorithme de Monte Carlo hybride ou hamiltonien, c'est-à-dire un algorithme de Metropolis-Hastings avec des propositions produites par une dynamique de Langevin cinétique ou sous-amortie. Cet algorithme a un excellent comportement numérique malgré l'interaction singulière, en particulier lorsque le nombre de particules devient grand. Il est plus efficace que la version suramortie bien connue précédemment utilisée pour de tels problèmes.

Nous étudions le comportement non-asymptotique des gaz de Coulomb en dimension deux et plus. De tels gaz sont modélisés par une mesure de Boltzmann-Gibbs échangeable avec une interaction singulière à deux corps. Nous obtenons des inégalités de concentration de mesure pour la distribution empirique de tels gaz autour de leur mesure d'équilibre, par rapport aux distances de Lipschitz et de Wasserstein bornées. Ceci implique une convergence macroscopique ainsi que mésoscopique dans ces distances. En particulier, nous améliorons les inégalités de concentration connues pour la distribution spectrale empirique des matrices aléatoires de Ginibre. Notre approche est remarquablement simple et contourne l'utilisation de l'énergie renormalisée. Elle repose de manière cruciale sur de nouvelles inégalités entre métriques de probabilité, notamment des inégalités de transport de Coulomb qui peuvent présenter un intérêt indépendant. Notre travail est inspiré de celui de Maïda et Maurel-Segala, lui-même inspiré des techniques de grandes déviations. Notre approche permet de retrouver, d'étendre et de simplifier les résultats précédents de Rougerie et Serfaty.

Considérons une matrice carrée avec des entrées indépendantes et identiquement distribuées de moyenne nulle et de variance unitaire. Il est bien connu que si les entrées ont un quatrième moment fini, alors, en haute dimension, avec une forte probabilité, le rayon spectral est proche de la racine carrée de la dimension. Nous conjecturons que ceci est vrai sous la seule hypothèse d'une moyenne nulle et d'une variance unitaire, en d'autres termes qu'il n'y a pas de valeurs aberrantes dans la loi circulaire. Dans ce travail, nous établissons la conjecture dans le cas d'entrées symétriquement distribuées avec un moment fini d'ordre supérieur à deux. La preuve utilise la méthode des moments combinée à une nouvelle technique de troncature pour les poids de cycle qui pourrait présenter un intérêt indépendant.

Ces notes de cours couvrent les notions de probabilités au programme de l’agrégation interne de mathématiques. Elles ne constituent pas des modèles de leçons d’oral. La version électronique est disponible gratuitement sur HAL tandis que la version papier est vendue à prix coûtant sur Amazon Europe.

L'objet principal de cette thèse est l'étude de plusieurs modèles de polynômes aléatoires. Il s'agit de comprendre le comportement macroscopique des racines de polynômes aléatoires dont le degré tend vers l'infini. Nous explorerons la connexion existant entre les racines de polynômes aléatoires et les gaz de Coulomb afin d'obtenir des principes de grandes déviations pour la mesure empiriques des racines. Nous revisitons l'article de Zeitouni et Zelditch qui établit un principe de grandes déviations pour un modèle général de polynômes aléatoires à coefficients gaussiens complexes. Nous étendons ce résultat au cas des coefficients gaussiens réels. Ensuite, nous démontrons que ces résultats restent valides pour une large classe de lois sur les coefficients, faisant des grandes déviations un phénomène universel pour ces modèles. De plus, nous démontrons tous les résultats précédents pour le modèle des polynômes de Weyl renormalisés. Nous nous intéressons aussi au comportement de la racine de plus grand module des polynômes de Kac. Celle-ci a un comportement non-universel et est en général une variable aléatoire à queues lourdes. Enfin, nous démontrons un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des ensembles biorthogonaux.

Nous considérons la matrice de Markov aléatoire obtenue en assignant des poids i.i.d. non négatifs à chaque arête du graphe orienté complet. Dans cette étude, les poids ont un premier moment non borné et appartiennent au domaine d'attraction d'une loi alpha-stable. Nous prouvons que lorsque la dimension tend vers l'infini, la mesure empirique des valeurs singulières tend vers une mesure de probabilité qui ne dépend que de alpha, caractérisée comme la valeur attendue de la mesure spectrale à la racine d'un arbre aléatoire pondéré. Ce dernier est une version généralisée en deux étapes de l'arbre infini pondéré de Poisson (PWIT) introduit par David Aldous. Sous une hypothèse supplémentaire de lissage, nous montrons que la mesure empirique des valeurs propres tend vers une mesure de probabilité isotrope non dégénérée dépendant uniquement de alpha et supportée sur le disque unitaire du plan complexe. Nous conjecturons que le support limite est en fait formé par un disque strictement plus petit.

Considérons un échantillon d'un vecteur aléatoire centré avec une matrice de covariance unitaire. Nous montrons que sous certaines hypothèses de régularité, et jusqu'à une échelle naturelle, les plus petites et les plus grandes valeurs propres de la matrice de covariance empirique convergent, lorsque la dimension et la taille de l'échantillon tendent toutes deux vers l'infini, vers les bords gauche et droit de la distribution de Marchenko-Pastur. Les hypothèses sont liées aux queues des normes des projections orthogonales. Elles couvrent les vecteurs aléatoires isotropes log-concaves ainsi que les vecteurs aléatoires avec des coordonnées i.i.d. avec des conditions de moment presque optimales. La méthode est un raffinement de l'approche de mise à jour du rang un utilisée par Srivastava et Vershynin pour produire des estimations quantitatives non asymptotiques. En d'autres termes, nous fournissons une nouvelle preuve du théorème de Bai et Yin en utilisant des outils de base de la théorie des probabilités et de l'algèbre linéaire, ainsi qu'une nouvelle extension de ce théorème aux matrices aléatoires à entrées dépendantes.

Ce recueil puise sa source dans les cours de master de mathématiques appliquées et de préparation à l’épreuve de modélisation de l’agrégation de mathématiques. Le parti pris de cet ouvrage est de polariser la rédaction par les modèles plutôt que par les outils, et de consacrer chaque chapitre à un modèle. Le premier public visé est celui des enseignants-chercheurs en probabilités, débutants ou confirmés. De nombreux chapitres peuvent également bénéficier directement à des étudiants de master ou préparant l’agrégation.

Présentation du travail de thèse des lauréats par un chercheur "aîné", puis par le lauréat. Les sujets traités sont divers : les neiges du plateau Antarctique (physique du climat), la mécanique de la cellule (biologie), la lutte contre les maladies infectieuses (génétique), le cerveau dans l'interface homme machine (informatique) et l'aléatoire (mathématiques).

Ce recueil puise sa source dans les cours de master de mathématiques appliquées et de préparation à l’épreuve de modélisation de l’agrégation de mathématiques. Le parti pris de cet ouvrage est de polariser la rédaction par les modèles plutôt que par les outils, et de consacrer chaque chapitre à un modèle. Le premier public visé est celui des enseignants-chercheurs en probabilités, débutants ou confirmés. De nombreux chapitres peuvent également bénéficier directement à des étudiants de master ou préparant l’agrégation.

Dans cette note, nous dérivons une nouvelle inégalité de Sobolev logarithmique pour le noyau de chaleur sur le groupe de Heisenberg. La preuve est inspirée de la méthode historique de Leonard Gross avec le théorème de la limite centrale pour une marche aléatoire. Ici, la nature non commutative des incréments produit un nouveau gradient qui implique naturellement un pont brownien sur le groupe de Heisenberg. Cette nouvelle inégalité contient l'inégalité de Sobolev logarithmique optimale pour la distribution gaussienne en deux dimensions. Nous comparons cette nouvelle inégalité avec l'inégalité de Sobolev logarithmique sub-elliptique de Hong-Quan Li et avec l'inégalité plus récente de Fabrice Baudoin et Nicola Garofalo obtenue en utilisant un critère de courbure généralisé. Enfin, nous étendons cette inégalité au cas des groupes de Carnot homogènes de rang deux.

L’algorithme Expectation-Maximization (EM) fait partie des algorithmes les plus importants de la statistique.

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Les files d’attente 1 font partie des modeles aleatoires les plus repandus et les plus utiles. Le cas le plus simple a decrire est sans doute le suivant : des clients font la queue devant un guichet appele serveur.

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eCe recueil puise sa source dans nos cours de Master de mathématiques appliquées et de préparation à l’épreuve de modélisation de l’agrégation de mathématiques. Il s'agit d'une collection accumulée au fil du temps que nous souhaitons partager avec plaisir et enthousiasme, conçue pour être consultée ponctuellement, au hasard, en feuilletant les pages, en consultant la table des matières ou l’index. Le premier public visé est celui des enseignants-chercheurs en probabilités, débutants ou confirmés. Nous espérons que ce recueil les inspirera pour la conception de leur enseignement de master ou l’encadrement de stages d’ouverture à la recherche. De nombreux chapitres peuvent également bénéficier directement à des étudiants de master ou préparant l’agrégation. Le parti pris est de polariser la rédaction par les modèles plutôt que par les outils, et de consacrer chaque chapitre à un modèle. Bien que parfois reliés, les chapitres sont essentiellement autonomes et contiennent pas ou peu de rappels de cours.

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Un cabinet de chasseurs de tetes souhaite constituer une equipe de choc grâce a un recrutement au fil de l’eau : chaque candidat obtient une note apres son entretien et les recruteurs decident dans l’instant de l’engager ou pas.

Le second principe de la thermodynamique postule que pour tout systeme isole, une grandeur macroscopique extensive appelee entropie augmente au cours du temps.

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Nous explorons la validité de la loi circulaire pour les matrices aléatoires avec des entrées non-i.i.d.. Soit M une matrice aléatoire réelle n × n obéissant, comme un vecteur aléatoire réel, à une loi inconditionnelle isotrope log-concave (jusqu'à normalisation), avec une norme quadratique moyenne égale à n. Les entrées ne sont pas corrélées et obéissent à une loi symétrique de moyenne nulle et de variance 1/n. Ce modèle permet une certaine dépendance et une non-équidistribution entre les entrées, tout en conservant le cas particulier des entrées gaussiennes standard i.i.d., connu sous le nom d'ensemble de Ginibre réel. Notre résultat principal indique que lorsque la dimension n va vers l'infini, la distribution spectrale empirique de M tend vers la loi uniforme sur le disque unitaire du plan complexe.

Ces notes d'exposition proposent de suivre, à travers les domaines, certains aspects du concept d'entropie. Partant des travaux de Boltzmann dans la théorie cinétique des gaz, divers univers sont visités, dont les processus de Markov et leur énergie libre de Helmholtz, le problème de la monotonicité de Shannon dans le théorème central limite, la théorie des probabilités libres de Voiculescu et le théorème central limite libre, les marches aléatoires sur des arbres réguliers, la loi circulaire pour l'ensemble complexe de Ginibre de matrices aléatoires, et enfin l'analyse asymptotique de systèmes de particules à champ moyen en dimension arbitraire, confinés par un champ externe et subissant une répulsion de paire singulière. Le texte est écrit dans un style informel animé par l'énergie et l'entropie. Il a pour but de recréer et de fournir aux lecteurs curieux des points d'entrée dans la littérature et des connexions au-delà des frontières.

Une matrice aléatoire échangeable est une matrice aléatoire dont la distribution est invariante sous toute permutation des entrées. Pour de telles matrices aléatoires, nous montrons, lorsque la dimension tend vers l'infini, que la distribution spectrale empirique tend vers la loi uniforme sur le disque unitaire. Il s'agit d'une instance du phénomène d'universalité connu sous le nom de loi circulaire, pour un modèle de matrices aléatoires à entrées, lignes et colonnes dépendantes. C'est aussi une contrepartie non-hermitienne d'un résultat de Chatterjee sur la loi semi-circulaire pour les matrices aléatoires hermitiennes à entrées échangeables. La preuve repose en particulier sur une réduction à un modèle plus simple donné par un brassage aléatoire d'une matrice déterministe rigide, sur l'hermétisation, ainsi que sur la concentration combinatoire de la mesure et le théorème central limite combinatoire. Une étape cruciale est une borne polynomiale sur la plus petite valeur singulière des matrices aléatoires échangeables, qui peut présenter un intérêt indépendant.

Nous explorons la validité de la loi circulaire pour les matrices aléatoires avec des entrées non-i.i.d.. Soit M une matrice aléatoire réelle n × n obéissant, comme un vecteur aléatoire réel, à une loi inconditionnelle isotrope log-concave (jusqu'à normalisation), avec une norme quadratique moyenne égale à n. Les entrées ne sont pas corrélées et obéissent à une loi symétrique de moyenne nulle et de variance 1/n. Ce modèle permet une certaine dépendance et une non-équidistribution entre les entrées, tout en conservant le cas particulier des entrées gaussiennes standard i.i.d., connu sous le nom d'ensemble de Ginibre réel. Notre résultat principal indique que lorsque la dimension n va vers l'infini, la distribution spectrale empirique de M tend vers la loi uniforme sur le disque unitaire du plan complexe.

Le théorème de la loi circulaire stipule que la distribution spectrale empirique d'une matrice aléatoire nxn avec des entrées i.i.d. de variance 1/n tend vers la loi uniforme sur le disque unitaire du plan complexe lorsque la dimension n tend vers l'infini. Ce phénomène est la contrepartie non-hermitienne de la limite semi-circulaire pour les matrices hermitiennes aléatoires de Wigner, et de la limite quart de cercle pour les matrices de covariance aléatoires de Marchenko-Pastur. Dans ces notes d'exposition, nous présentons une preuve dans un cas gaussien, due à Mehta et Silverstein, basée sur une formule de Ginibre, et une preuve du cas universel en revisitant l'approche de Tao et Vu, basée sur l'Hermitisation de Girko, le potentiel logarithmique, et le contrôle des petites valeurs singulières. Nous discutons également de quelques modèles connexes et de problèmes ouverts.

Nous considérons dans cette note une classe de gaz de Coulomb bidimensionnels déterminants confinés par un champ externe radial. Lorsque le nombre de particules tend vers l'infini, leur distribution empirique tend vers une mesure de probabilité supportée dans un anneau centré du plan complexe. Un confinement quadratique correspond à l'ensemble complexe de Ginibre. Dans ce cas, il est également déjà connu que la fluctuation asymptotique du bord radial suit une loi de Gumbel. Nous établissons dans cette note l'universalité de ce comportement du bord, au-delà du cas quadratique. L'approche, inspirée des travaux antérieurs de Kostlan et Rider, se résume à des identités de loi et à une instance de la méthode de Laplace.

Nous étudions un système physique de $N$ particules en interaction dans $\mathbb{R}^d$, $d\geq1$, soumises à une répulsion de paire et confinées par un champ externe. Nous établissons un principe de grandes déviations pour leur distribution empirique lorsque $N$ tend vers l'infini. Dans le cas de l'interaction de Riesz, incluant l'interaction de Coulomb en dimension arbitraire $d>2$, la fonction de taux est strictement convexe et admet un minimum unique, la mesure d'équilibre, caractérisée par son potentiel. Il s'ensuit que presque sûrement, la distribution empirique des particules tend vers cette mesure d'équilibre lorsque $N$ tend vers l'infini. Dans le cas plus spécifique de l'interaction coulombienne en dimension $d>2$, et lorsque le champ externe est une fonction convexe ou croissante du rayon, alors la mesure d'équilibre est supportée dans un anneau. Avec un champ externe quadratique, la mesure d'équilibre est uniforme sur une boule.

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On étudie une suite aléatoire à valeurs dans les permutations d'ensembles finis, appelée processus des restaurants chinois. Ce processus est relié à la loi d'Ewens bien connue en combinatoire élémentaire. Ce processus et cette loi constituent en quelque sorte un analogue pour les permutations du processus de Poisson et de la loi de Poisson, plus classiques en théorie des probabilités.

Les textes réunis dans ce volume présentent plusieurs aspects des mathématiques de l'aléatoire et mettent en évidence les nombreux domaines d'applications où elles sont utilisées. Sylvie Méléard s'appuie sur la modélisation en dynamique des populations pour introduire les processus markoviens de saut. Elle met en évidence, par l'étude des approximations en grande population du processus de naissance et mort logistique, un modèle d'équation différentielle ordinaire et un modèle d'équation différentielle stochastique, suivant les échelles de temps et de taille de population considérées. Christophe Giraud propose une introduction aux fondements mathématiques de la classification automatique, théorie qui intervient tout autant dans le filtrage de pourriels de messagerie que dans la recherche automatique de molécules actives en médecine. Son texte présente diverses techniques mathématiques utilisées lors de l'estimation de la probabilité d'erreur de classification par un algorithme. Djalil Chafaï développe quelques aspects de la théorie des matrices aléatoires, qui est un domaine des mathématiques à l'intersection de la théorie des probabilités et de l'algèbre linéaire. Cette théorie a des applications aussi bien dans les domaines appliqués que dans les parties les plus fondamentales des mathématiques.

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Étant donné un processus naissance-mort sur N avec un semigroupe (P_t) et un gradient discret d_u dépendant d'un poids positif u, nous établissons des relations d'entrelacement de la forme d_u P_t = Q_t d_u, où (Q_t) est le semigroupe de Feynman-Kac avec le potentiel V_u d'un autre processus naissance-mort. Nous fournissons des applications lorsque V_u est positif et uniformément borné par le bas, notamment la contraction de Lipschitz et la courbure de Wasserstein, diverses inégalités fonctionnelles et les ordonnancements stochastiques. Notre analyse est naturellement reliée aux travaux antérieurs de Caputo-Dai Pra-Posta et de Chen sur les processus de naissance-mort. Les preuves sont remarquablement simples et reposent sur l'interpolation, la commutation et la convexité.

Nous étudions le spectre du générateur infinitésimal de la marche aléatoire en temps continu sur un graphe orienté pondéré aléatoirement. Il s'agit de la matrice aléatoire non hermitique nxn L définie par L(j,k)=X(j,k) si k<>j et L(j,j)=-somme(L(j,k),k<>j), où X(j,k) sont des poids aléatoires i.i.d.. Sous de légères hypothèses sur la loi des poids, nous établissons la convergence lorsque n tend vers l'infini de la distribution spectrale empirique de L après centrage et remise à l'échelle. En particulier, nos hypothèses incluent les graphes aléatoires épars tels que le graphe orienté de Erdős-Rényi où chaque arête est présente indépendamment avec une probabilité p(n)->0 tant que np(n) >> (log(n))^6. La distribution limite est caractérisée comme une déformation gaussienne additive de la loi circulaire standard. En termes de probabilité libre, cela coïncide avec la mesure de Brown de la somme libre de l'élément circulaire et d'un opérateur normal avec une mesure spectrale gaussienne. La densité de la distribution limite est analysée à l'aide d'une formule de subordination. De plus, nous étudions la convergence de la mesure invariante de L vers la distribution uniforme et établissons des estimations sur les valeurs propres extrémales de L.

Cette thèse est centrée autour d'un algorithme de construction de mesures de probabilités à lois marginales prescrites, appelé Iterative Proportional Fitting (IPF). Issu de la statistique, cet algorithme est basé sur des projections successives sur des espaces de probabilités avec la pseudo-distance d'entropie relative de Kullback-Leibler. Cette thèse constitue un panorama des résultats disponibles sur le sujet, et contient quelques extensions et raffinements. La première partie est consacrée à l'étude des projections en entropie relative, à des critères d'existence, d'unicité ainsi que de caractérisation liés à la fermeture d'une somme de sous- espaces. Sous certaines conditions, le problème devient un problème de maximum d'entropie pour des contraintes marginales graphiques. La seconde partie met en avant le procédé itératif IPF. Répondant à l'origine à un problème d'estimation pour les tables de contingence, il constitue plus généralement un analogue d'un algorithme classique de projections alternées sur des espaces de Hilbert. Après avoir présenté les propriétés de l'IPF, on s'intéresse à des résultats de convergence dans le cas fini discret et dans le cas gaussien, ainsi qu'au cas continu à deux marginales, pour lequel une extension est proposée. On traite ensuite plus particulièrement du cas gaussien, pour lequel une nouvelle formulation de l'IPF permet d'obtenir une vitesse de convergence dans le cas à deux marginales prescrites, dont on montre l'optimalité en dimension 2.

Cette thèse s'inscrit dans la théorie des matrices aléatoires, à l'intersection avec la théorie des probabilités libres et des algèbres d'opérateurs. Elle s'insère dans une démarche générale qui a fait ses preuves ces dernières décennies : importer les techniques et les concepts de la théorie des probabilités non commutatives pour l'étude du spectre de grandes matrices aléatoires. On s'intéresse ici à des généralisations du théorème de liberté asymptotique de Voiculescu. Dans les Chapitres 1 et 2, nous montrons des résultats de liberté asymptotique forte pour des matrices gaussiennes, unitaires aléatoires et déterministes. Dans les Chapitres 3 et 4, nous introduisons la notion de fausse liberté asymptotique pour des matrices déterministes et certaines matrices hermitiennes à entrées sous diagonales indépendantes, interpolant les modèles de matrices de Wigner et de Lévy.

La thèse étudie les méthodes non-paramétriques (NP) d'estimation de la distribution des effets aléatoires d'un modèle non-linéaire à effets mixtes. L'objectif est d'évaluer l'intérêt de ces méthodes pour les analyses Pharmacocinétiques (PK) et/ou Pharmacodynamiques (PD) de population, dans l'industrie Pharmaceutique. Dans un premier temps, la thèse fait le point sur les propriétés statistiques de quatre méthodes NP importantes. De plus, elle évalue leurs performances pratiques grâce des études de simulation inspirées d'analyses PK de population. L'intérêt des méthodes NP est établi, en théorie et en pratique. Les méthodes NP sont ensuite évaluées pour l'analyse PK/PD de population d'un médicament antidiabétique. L'objectif est d'évaluer la capacité des méthodes à détecter une sous-population de patients non-répondeurs au traitement. Des études de simulation montrent que deux méthodes NP semblent plus aptes à détecter cette sous-population. La dernière partie de la thèse est consacrée à la recherche d'algorithmes stochastiques permettant d'améliorer le calcul des méthodes NP. Un algorithme de gradient stochastique perturbé est proposé.

Les travaux présentés concernent trois thématiques autonomes : (1) Modèles biologiques et statistique : modèles compartimentaux, pharmacocinétique et pharmacodynamie de population, estimateurs pour problèmes inverses stochastiques, modèles non-linéaires à effets mixtes, modèles de mélanges, algorithmes de type EM et ICF, modèles graphiques de covariance, modélisation en cancérologie, processus ponctuels, particules, files d'attentes, renormalisation de processus markoviens inhomogènes et formules de Feynman-Kac (2) Inégalités fonctionnelles : inégalités de type Sobolev, concentration de la mesure, isopérimétrie rôle de la convexité dans les inégalités entropiques, tensorisation, noyau de la chaleur, groupe d'Heisenberg et dynamiques hypoelliptiques, files d'attentes, mélanges de lois (3) Matrices aléatoires : spectre des matrices markoviennes aléatoires, graphes à poids aléatoires, théorèmes de type Wigner, Marchenko-Pastur, et Girko-Bai, convergence des valeurs propres extrémales, déformations de rang un. Le concept le plus récurrent ici est celui de dynamique markovienne. Dans la première partie, ce sont les modèles à compartiments de la pharmacologie qui sont liés à de telles dynamiques. La seconde partie traite d'inégalités fonctionnelles associées à la vitesse et à la géométrie de dynamiques markoviennes. Enfin, la troisième partie traite de dynamiques markoviennes aléatoires. Ces trois parties ne se réduisent pas à l'étude de facettes de problèmes markoviens. Leur contenu balaye un spectre à la fois théorique et appliqué, et met en oeuvre des techniques et des concepts variés issus de l'analyse, des probabilités, et de la statistique.

1°) Utilisation d'inégalités fonctionnelles de Bobkov pour l'établissement de principes de grandes déviations quasi-gaussiens. 2°) Etude de l'inégalité de Sobolev logarithmique en théorie de l'information. 3°) Etablissement d'inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmiques pour certaines dynamiques de Kawasaki et Glauber pour un modèle à spins continus en mécanique statistique.