Spectre des grandes chaînes de Markov aléatoires : Poids à queue lourde sur le graphe complet orienté.

Résumé Nous considérons la matrice de Markov aléatoire obtenue en assignant des poids i.i.d. non négatifs à chaque arête du graphe orienté complet. Dans cette étude, les poids ont un premier moment non borné et appartiennent au domaine d'attraction d'une loi alpha-stable. Nous prouvons que lorsque la dimension tend vers l'infini, la mesure empirique des valeurs singulières tend vers une mesure de probabilité qui ne dépend que de alpha, caractérisée comme la valeur attendue de la mesure spectrale à la racine d'un arbre aléatoire pondéré. Ce dernier est une version généralisée en deux étapes de l'arbre infini pondéré de Poisson (PWIT) introduit par David Aldous. Sous une hypothèse supplémentaire de lissage, nous montrons que la mesure empirique des valeurs propres tend vers une mesure de probabilité isotrope non dégénérée dépendant uniquement de alpha et supportée sur le disque unitaire du plan complexe. Nous conjecturons que le support limite est en fait formé par un disque strictement plus petit.