Concentration pour les gaz de Coulomb et inégalités de transport de Coulomb.

Résumé Nous étudions le comportement non-asymptotique des gaz de Coulomb en dimension deux et plus. De tels gaz sont modélisés par une mesure de Boltzmann-Gibbs échangeable avec une interaction singulière à deux corps. Nous obtenons des inégalités de concentration de mesure pour la distribution empirique de tels gaz autour de leur mesure d'équilibre, par rapport aux distances de Lipschitz et de Wasserstein bornées. Ceci implique une convergence macroscopique ainsi que mésoscopique dans ces distances. En particulier, nous améliorons les inégalités de concentration connues pour la distribution spectrale empirique des matrices aléatoires de Ginibre. Notre approche est remarquablement simple et contourne l'utilisation de l'énergie renormalisée. Elle repose de manière cruciale sur de nouvelles inégalités entre métriques de probabilité, notamment des inégalités de transport de Coulomb qui peuvent présenter un intérêt indépendant. Notre travail est inspiré de celui de Maïda et Maurel-Segala, lui-même inspiré des techniques de grandes déviations. Notre approche permet de retrouver, d'étendre et de simplifier les résultats précédents de Rougerie et Serfaty.