Convergence du rayon spectral d'une matrice aléatoire par son polynôme caractéristique.

Résumé Considérons une matrice aléatoire carrée avec des entrées indépendantes et identiquement distribuées de moyenne zéro et de variance unitaire. Nous montrons que lorsque la dimension tend vers l'infini, le rayon spectral est équivalent à la racine carrée de la dimension en probabilité. Ce résultat peut également être considéré comme la convergence du support dans le théorème de la loi circulaire sous des conditions de moment optimal. Dans la preuve, nous établissons la convergence en loi du polynôme caractéristique réciproque vers une fonction analytique aléatoire en dehors du disque unitaire, liée à une fonction analytique gaussienne hyperbolique. La preuve est courte et diffère des approches habituelles pour le rayon spectral. Elle s'appuie sur un argument d'étanchéité et un phénomène de limite centrale conjointe pour les traces de puissances fixes.