Notes de cours sur la loi circulaire.

Résumé Le théorème de la loi circulaire stipule que la distribution spectrale empirique d'une matrice aléatoire nxn avec des entrées i.i.d. de variance 1/n tend vers la loi uniforme sur le disque unitaire du plan complexe lorsque la dimension n tend vers l'infini. Ce phénomène est la contrepartie non-hermitienne de la limite semi-circulaire pour les matrices hermitiennes aléatoires de Wigner, et de la limite quart de cercle pour les matrices de covariance aléatoires de Marchenko-Pastur. Dans ces notes d'exposition, nous présentons une preuve dans un cas gaussien, due à Mehta et Silverstein, basée sur une formule de Ginibre, et une preuve du cas universel en revisitant l'approche de Tao et Vu, basée sur l'Hermitisation de Girko, le potentiel logarithmique, et le contrôle des petites valeurs singulières. Nous discutons également de quelques modèles connexes et de problèmes ouverts.