Gaz de Coulomb sous contrainte : quelques résultats théoriques et numériques.

Résumé Nous considérons des modèles de gaz de Coulomb pour lesquels la mesure empirique se concentre typiquement, lorsque le nombre de particules devient grand, sur une mesure d'équilibre minimisant une énergie électrostatique. Nous étudions le comportement lorsque le gaz est conditionné par un événement rare. Nous montrons d'abord que le cas particulier de confinement quadratique et de contrainte linéaire est exactement solvable grâce à une factorisation remarquable, et que le conditionnement a alors pour simple effet de déplacer le nuage de particules sans déformation. Pour aborder des cas plus généraux, nous effectuons une analyse théorique asymptotique en nous appuyant sur une technique de grandes déviations connue sous le nom de principe de conditionnement de Gibbs. La partie technique revient à établir que l'ensemble conditionné est un ensemble de I-continuité de l'énergie. Cela conduit à caractériser la mesure d'équilibre conditionnée comme la solution d'un problème variationnel modifié. Pour simplifier, nous nous concentrons sur les statistiques linéaires et sur les contraintes statistiques quadratiques. Enfin, nous illustrons numériquement nos prédictions et explorons les cas dans lesquels aucune solution explicite n'est connue. Pour cela, nous utilisons un algorithme de Monte Carlo hybride généralisé pour l'échantillonnage de la distribution conditionnée pour un système fini mais de grande taille.