Sur les algorithmes de projections en entropie relative avec contraintes marginales.

Résumé Cette thèse est centrée autour d'un algorithme de construction de mesures de probabilités à lois marginales prescrites, appelé Iterative Proportional Fitting (IPF). Issu de la statistique, cet algorithme est basé sur des projections successives sur des espaces de probabilités avec la pseudo-distance d'entropie relative de Kullback-Leibler. Cette thèse constitue un panorama des résultats disponibles sur le sujet, et contient quelques extensions et raffinements. La première partie est consacrée à l'étude des projections en entropie relative, à des critères d'existence, d'unicité ainsi que de caractérisation liés à la fermeture d'une somme de sous- espaces. Sous certaines conditions, le problème devient un problème de maximum d'entropie pour des contraintes marginales graphiques. La seconde partie met en avant le procédé itératif IPF. Répondant à l'origine à un problème d'estimation pour les tables de contingence, il constitue plus généralement un analogue d'un algorithme classique de projections alternées sur des espaces de Hilbert. Après avoir présenté les propriétés de l'IPF, on s'intéresse à des résultats de convergence dans le cas fini discret et dans le cas gaussien, ainsi qu'au cas continu à deux marginales, pour lequel une extension est proposée. On traite ensuite plus particulièrement du cas gaussien, pour lequel une nouvelle formulation de l'IPF permet d'obtenir une vitesse de convergence dans le cas à deux marginales prescrites, dont on montre l'optimalité en dimension 2.