Dynamique d'un gaz de Coulomb planaire.

Résumé Nous étudions le comportement à long terme de la dynamique de particules Brow-niennes planes en interaction, confinées par un champ externe et soumises à une répulsion de paire singulière. La loi invariante est une mesure échangeable Boltzmann - Gibbs. Pour une température inverse particulière, elle correspond au gaz de Coulomb connu sous le nom d'ensemble complexe de Ginibre. La difficulté vient de l'interaction qui n'est pas convexe, contrairement au cas des gaz logarithmiques unidimensionnels associés au mouvement brownien de Dyson. Malgré le fait que la loi invariante n'est ni produit ni log-concave, nous montrons que le système est bien posé pour toute température inverse et que des inégalités de Poincaré sont disponibles. De plus, la dynamique du second moment s'avère être un beau processus de Cox - Ingersoll - Ross dans lequel la dépendance du nombre de particules permet d'identifier deux régimes naturels liés au comportement du bruit et à la vitesse de la dynamique.