On Poincare and logarithmic Sobolev inequalities for a class of singular Gibbs measures.

Résumé Cette note, essentiellement expositive, est consacrée aux inégalités de Poincaré et de log-Sobolev pour une classe de mesures de Boltzmann-Gibbs avec interaction singulière. De telles mesures permettent de modéliser des particules unidimensionnelles avec confinement et interaction singulière par paire. Les inégalités fonctionnelles proviennent de la convexité. Nous prouvons et caractérisons l'optimalité dans le cas d'un confinement quadratique via une factorisation de la mesure. Ce phénomène d'optimalité est valable pour tous les ensembles d'Hermite bêta, y compris l'ensemble unitaire gaussien, un célèbre modèle exactement soluble de la théorie des matrices aléatoires. Nous approfondissons la solvabilité exacte en examinant la relation avec la dynamique de diffusion de Dyson-Ornstein-Uhlenbeck qui admet les polynômes orthogonaux de Hermite-Lassalle comme un ensemble complet de fonctions propres. Nous discutons également de la conséquence de l'inégalité log-Sobolev en termes de concentration de mesure pour les fonctions Lipschitz telles que les maxima et les statistiques linéaires.