Mouvements Browniens Skew rebondissants.

Résumé Nous considérons deux mouvements browniens asymétriques, pilotés par le même mouvement brownien, avec des points de départ différents et des coefficients d'asymétrie différents. Dans [13], on montre que l'évolution de la distance entre les deux processus, à l'échelle de temps locale et jusqu'à leur premier temps de frappe, satisfait une équation différentielle stochastique avec sauts. Les sauts de cette E.D.S. sont naturellement pilotés par le processus d'excursion d'une des deux motions browniennes asymétriques. Dans cet article, nous montrons que la description de la distance des deux processus après ce premier temps de frappe peut être étudiée en utilisant l'auto similarité induite par l'E.D.S. précédente. Plus précisément, nous montrons que la distance entre les deux processus dans l'échelle de temps locale peut être vue comme l'unique extension continue markovienne auto-similaire du processus décrit dans [13]. Cela nous permet de calculer la loi de la distance des deux mouvements browniens asymétriques à tout moment dans l'échelle de temps locale, lorsque les deux mouvements browniens asymétriques originaux partent de zéro. Comme produit dérivé, nous parvenons à étudier la dépendance markovienne du paramètre d'asymétrie et à répondre à une question ouverte formulée initialement par C. Burdzy et Z.Q. Chen dans [6].