GLOTER Arnaud

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Le sujet de la thèse est l’estimation paramétrique et non-paramétrique dans des modèles de processus à sauts. La thèse est constituée de 3 parties qui regroupent 4 travaux. La première partie, qui est composée de deux chapitres, traite de l'estimation des paramètres de dérive et volatilité par des méthodes de contraste depuis des observations discrètes, avec pour objectif principal de minimiser les conditions sur le pas d'observation, afin que celui ci puisse par exemple aller arbitrairement lentement vers 0. La seconde partie de la thèse concerne des développements asymptotiques, et correction de biais, pour l'estimation de la volatilité intégrée. La troisième partie de la thèse, concerne l'estimation adaptative de la mesure stationnaire pour des processus à saut.

Dans cet article, nous considérons un processus de diffusion unidimensionnel avec des sauts pilotés par un processus de Hawkes. Nous nous intéressons à l'estimation de la fonction de volatilité et de la fonction de saut à partir d'observations discrètes à haute fréquence sur un horizon temporel long. Nous proposons d'abord d'estimer le coefficient de volatilité. Pour cela, nous introduisons dans notre procédure d'estimation une fonction de troncature qui permet de prendre en compte les sauts du processus et nous estimons la fonction de volatilité sur un sous-espace linéaire de L 2 (A) où A est un intervalle compact de R. Nous obtenons une borne pour le risque empirique de l'estimateur de volatilité et établissons une inégalité d'oracle pour l'estimateur adaptatif afin de mesurer la performance de la procédure. Ensuite, nous proposons un estimateur d'une somme entre la volatilité et le coefficient de saut modifié avec l'espérance conditionnelle de l'intensité des sauts. L'idée derrière cela est de récupérer la fonction de saut. Nous établissons également une limite pour le risque empirique pour l'estimateur non-adaptatif de cette somme et une inégalité d'oracle pour l'estimateur adaptatif final. Nous réalisons une étude de simulation pour mesurer la précision de nos estimateurs en pratique et nous discutons de la possibilité de récupérer la fonction de saut à partir de notre procédure d'estimation.

Nous étudions le problème de l'estimation non paramétrique pour la densité π de la distribution stationnaire d'un système hamiltonien stochastique bidimensionnel amortissant (Z_t) t∈[0,T ] = (X_t, Y_t) t∈[0,T ]. A partir de l'observation continue du chemin d'échantillonnage sur [0, T ], nous étudions le taux d'estimation de π(x_0 , y_0) en tant que T → ∞. Nous montrons que les estimateurs à base de noyaux peuvent atteindre le taux T^{-v} pour un certain exposant explicite v ∈ (0, 1/2). Une constatation est que le taux d'estimation dépend de la régularité de π et est complètement différent du taux apparaissant dans le cadre standard i.i.d. ou dans le cas de processus de diffusion non dégénérés à deux dimensions. En particulier, ce taux dépend aussi de y 0. De plus, nous obtenons une borne inférieure minimax sur le risque L 2- pour l'estimation ponctuelle, avec le même taux T^{-v}, jusqu'à des termes log(T).

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Dans cet article, nous considérons un processus de diffusion ergodique avec sauts dont le coefficient de dérive dépend de µ et le coefficient de volatilité dépend de σ, deux paramètres inconnus. Nous supposons que le processus est discrètement observé aux instants (t n i)i=0,.,n avec ∆n = sup i=0,.,n-1 (t n i+1 - t n i) → 0. Nous introduisons un estimateur de θ := (µ, σ), basé sur une fonction de contraste, qui est asymptotiquement gaussien sans nécessiter de conditions sur le taux auquel ∆n → 0, en supposant une activité de saut finie. Ceci étend les résultats antérieurs où une condition sur la discrétisation des pas était nécessaire (voir [13],[28]) ou où seule l'estimation du paramètre de dérive était considérée (voir [2]). Dans des situations générales, notre fonction de contraste n'est pas explicite et en pratique, il faut recourir à une certaine approximation. Nous proposons des approximations explicites de la fonction de contraste, telles que l'estimation de θ est réalisable sous la condition que n∆ k n → 0 où k > 0 peut être arbitrairement grand. Ceci étend les résultats obtenus par Kessler [17] dans le cas de processus continus. Estimation efficace de la dérive, estimation efficace de la volatilité, propriétés ergodiques, données à haute fréquence, EDS pilotée par Lévy, méthodes de seuillage.

Dans cet article, nous considérons un processus de diffusion ergodique avec sauts dont le coefficient de dérive dépend d'un paramètre inconnu θ. Nous supposons que le processus est discrètement observé aux instants (t n i)i=0,.,n avec ∆n = sup i=0,.,n-1 (t n i+1 - t n i) → 0. Nous introduisons un estimateur de θ, basé sur une fonction de contraste, qui est efficace sans exiger de conditions sur la vitesse à laquelle ∆n → 0, et où nous permettons au processus observé d'avoir des sauts non sommables. Ceci étend les résultats précédents où la condition n∆ 3 n → 0 était nécessaire (voir [10],[24]) et où le processus était supposé avoir des sauts sommables. De plus, dans le cas d'une activité à sauts finis, nous proposons des approximations explicites de la fonction de contraste, de sorte que l'estimation efficace de θ est réalisable sous la condition que n∆ k n → 0 où k > 0 peut être arbitrairement grand. Ceci étend les résultats obtenus par Kessler [15] dans le cas de processus continus. SDE pilotée par Lévy, estimation efficace de la dérive, données à haute fréquence, propriétés ergodiques, méthodes de seuillage.

Le problème de l'estimation de la volatilité intégrée pour la solution X d'une équation différentielle stochastique avec des sauts de type Lévy est considéré dans le cadre d'observations discrètes à haute fréquence dans un horizon temporel court et long. Nous fournissons une expansion asymptotique pour la volatilité intégrée qui nous donne, en détail, la contribution dérivant de la partie saut. La connaissance d'une telle contribution nous permet de construire une version sans biais de la variation quadratique tronquée, dans laquelle le biais est visiblement réduit. Dans des résultats antérieurs, la condition β > 1 2(2-α) sur β (c'est-à-dire telle que (1/n) β est le seuil de la variation quadratique tronquée) et sur le degré d'activité de saut α était nécessaire pour que la volatilité réalisée tronquée originale soit bien exécutée (voir [22], [13]). Dans cet article, nous relaxons théoriquement cette condition et nous montrons que notre estimateur sans biais obtient d'excellents résultats numériques pour tout couple (α, β). SDE pilotée par Lévy, variance intégrée, estimateur à seuil, vitesse de convergence, données à haute fréquence.

Nous considérons la solution X = (Xt) t≥0 d'une équation différentielle stochastique multivariée avec des sauts de type Lévy et avec une mesure de probabilité invariante unique de densité µ. Nous supposons qu'un enregistrement continu d'observations X T = (Xt) 0≤t≤T est disponible. Dans le cas sans sauts, Reiss et Dalalyan (2007) et Strauch (2018) ont trouvé des taux de convergence des estimateurs de densité invariante, sous des contraintes de lissage de Hölder respectivement isotrope et anisotrope, qui sont considérablement plus rapides que ceux connus de l'estimation de densité multivariée standard. Nous étendons les travaux précédents en obtenant, en présence de sauts, des estimateurs qui ont les mêmes taux de convergence qu'ils avaient dans le cas sans sauts pour d ≥ 2 et un taux qui dépend du degré des sauts dans le cadre unidimensionnel. Nous proposons en outre une procédure de sélection de largeur de bande basée sur la méthode de Goldensh-luger et Lepski (2011) qui nous conduit à un estimateur à noyau non paramétrique adaptatif de la densité stationnaire µ de la diffusion par sauts X. Sélection de largeur de bande adaptative, estimation de densité anisotrope, diffusion ergodique avec sauts, EDS pilotée par Lévy.

Nous discutons de l'estimation paramétrique d'un système de diffusion dégénéré à partir d'observations discrètes dans le temps. La première composante du système de diffusion dégénérée a un paramètre θ_1 dans un coefficient de diffusion non dégénéré et un paramètre θ_2 dans le terme de dérive. La deuxième composante a un terme de dérive paramétré par θ_3 et aucun terme de diffusion. La normalité asymptotique est prouvée dans trois situations différentes pour un estimateur adaptatif pour θ_3 avec certains estimateurs initiaux pour (θ_1 , θ_2), un estimateur adaptatif à une étape pour (θ_1 , θ_2 , θ_3) avec certains estimateurs initiaux pour ceux-ci, et un estimateur conjoint de quasi-maximum de vraisemblance pour (θ_1 , θ_2 , θ_3) sans aucun estimateur initial. Nos estimateurs incorporent l'information des incréments des deux composantes. Grâce à cette construction, la variance asymptotique des estimateurs pour θ_1 est plus petite que celle de l'estimateur standard basé uniquement sur la première composante. La convergence des estimateurs de θ_3 est beaucoup plus rapide que celle des autres paramètres. La variance asymptotique résultante est plus petite que celle d'un estimateur utilisant uniquement les incréments de la deuxième composante.

Ce travail porte sur la propriété de normalité mixte asymptotique locale (LAMN) à partir d'observations à haute fréquence, d'un processus à temps continu solution d'une équation différentielle stochastique pilotée par un processus α-stable tronqué d'indice α ∈ (0, 2). Le processus est observé sur l'intervalle de temps fixe [0, 1] et les paramètres apparaissent à la fois dans le coefficient de dérive et le coefficient d'échelle. Ceci étend les résultats de Clément et Gloter [Stoch. Process. Appl. 125 (2015) 2316-2352] où l'indice α ∈ (1, 2) et le paramètre apparaît seulement dans le coefficient de dérive. Nous calculons l'information asymptotique de Fisher et trouvons que le taux de la propriété LAMN dépend du comportement de la mesure de Lévy au voisinage de zéro. La preuve s'appuie sur le comportement asymptotique en petit temps de la densité de transition du processus obtenu dans Clément et al.

Dans cet article, nous considérons un processus de diffusion ergodique avec sauts dont le coefficient de dérive dépend de µ et le coefficient de volatilité dépend de σ, deux paramètres inconnus. Nous supposons que le processus est discrètement observé aux instants (t n i)i=0,.,n avec ∆n = sup i=0,.,n-1 (t n i+1 - t n i) → 0. Nous introduisons un estimateur de θ := (µ, σ), basé sur une fonction de contraste, qui est asymptotiquement gaussien sans nécessiter de conditions sur le taux auquel ∆n → 0, en supposant une activité de saut finie. Ceci étend les résultats antérieurs où une condition sur la discrétisation des pas était nécessaire (voir [13],[28]) ou où seule l'estimation du paramètre de dérive était considérée (voir [2]). Dans des situations générales, notre fonction de contraste n'est pas explicite et en pratique, il faut recourir à une certaine approximation. Nous proposons des approximations explicites de la fonction de contraste, telles que l'estimation de θ est réalisable sous la condition que n∆ k n → 0 où k > 0 peut être arbitrairement grand. Ceci étend les résultats obtenus par Kessler [17] dans le cas de processus continus. Estimation efficace de la dérive, estimation efficace de la volatilité, propriétés ergodiques, données à haute fréquence, EDS pilotée par Lévy, méthodes de seuillage.

Cet article s'intéresse à l'inférence paramétrique pour une équation différentielle stochastique pilotée par un processus de Lévy à saut pur, à partir d'observations à haute fréquence sur une période de temps fixe. En supposant que la mesure de Lévy du processus moteur se comporte comme celle d'un processus α-stable autour de zéro, nous proposons une méthode basée sur les fonctions d'estimation qui conduit à des estimateurs asymptotiquement efficaces pour toute valeur de α ∈ (0, 2) et ne nécessite aucune hypothèse d'intégrabilité sur le processus. Les principaux théorèmes limites sont dérivés grâce à un contrôle en distance de variation totale entre la loi du processus normalisé, en petit temps, et la distribution α-stable. Cette méthode est une alternative à la méthode d'estimation par quasi-vraisemblance non gaussienne proposée par Masuda [20] où l'indice α de Blumenthal-Getoor est restreint à l'intervalle [1, 2].

Le problème de l'estimation de la volatilité intégrée pour la solution X d'une équation différentielle stochastique avec des sauts de type Lévy est considéré dans le cadre d'observations discrètes à haute fréquence dans un horizon temporel court et long. Nous fournissons une expansion asymptotique pour la volatilité intégrée qui nous donne, en détail, la contribution dérivant de la partie saut. La connaissance d'une telle contribution nous permet de construire une version sans biais de la variation quadratique tronquée, dans laquelle le biais est visiblement réduit. Dans des résultats antérieurs, la condition β > 1 2(2-α) sur β (c'est-à-dire telle que (1/n) β est le seuil de la variation quadratique tronquée) et sur le degré d'activité de saut α était nécessaire pour que la volatilité réalisée tronquée originale soit bien exécutée (voir [22], [13]). Dans cet article, nous relaxons théoriquement cette condition et nous montrons que notre estimateur sans biais obtient d'excellents résultats numériques pour tout couple (α, β). SDE pilotée par Lévy, variance intégrée, estimateur à seuil, vitesse de convergence, données à haute fréquence.

En considérant une classe d'équations différentielles stochastiques pilotées par un processus localement stable, nous abordons l'estimation paramétrique conjointe, basée sur des observations à haute fréquence du processus sur un intervalle de temps fixe, du coefficient de dérive, du coefficient d'échelle et de l'activité de saut du processus. Ce travail prolonge [4] où l'activité de saut était supposée connue et aussi [3] où la propriété LAN et l'estimation des trois paramètres sont effectuées pour un processus stable translaté. Nous proposons une méthode d'estimation et montrons que les propriétés asymptotiques des estimateurs dépendent de manière cruciale de la forme du coefficient d'échelle. Si le coefficient d'échelle est multiplicatif : a(x, σ) = σa(x), le taux de convergence de nos estimateurs est non diagonal et la variance asymptotique de l'estimation conjointe du coefficient d'échelle et de l'activité de saut est l'inverse de la matrice d'information obtenue dans [3]. Dans le cas non multiplicatif, les résultats sont meilleurs et nous obtenons un taux de convergence diagonal plus rapide avec une variance asymptotique différente. Dans les deux cas, la méthode d'estimation est illustrée par des simulations numériques montrant que nos estimateurs sont assez faciles à mettre en œuvre. Classification des sujets du MSC 2010 : Primaire 60G51, 60G52, 60J75, 62F12. Secondaire 60H07, 60F05 .

Dans cet article, nous considérons un processus de diffusion ergodique avec sauts dont le coefficient de dérive dépend d'un paramètre inconnu θ. Nous supposons que le processus est discrètement observé aux instants (t n i)i=0,.,n avec ∆n = sup i=0,.,n-1 (t n i+1 - t n i) → 0. Nous introduisons un estimateur de θ, basé sur une fonction de contraste, qui est efficace sans exiger de conditions sur la vitesse à laquelle ∆n → 0, et où nous permettons au processus observé d'avoir des sauts non sommables. Ceci étend les résultats précédents où la condition n∆ 3 n → 0 était nécessaire (voir [10],[24]) et où le processus était supposé avoir des sauts sommables. De plus, dans le cas d'une activité à sauts finis, nous proposons des approximations explicites de la fonction de contraste, de sorte que l'estimation efficace de θ est réalisable sous la condition que n∆ k n → 0 où k > 0 peut être arbitrairement grand. Ceci étend les résultats obtenus par Kessler [15] dans le cas de processus continus. SDE pilotée par Lévy, estimation efficace de la dérive, données à haute fréquence, propriétés ergodiques, méthodes de seuillage.

Dans cet article, nous approximons la distribution invariante ν d'une diffusion par saut ergodique pilotée par la somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Poisson composé avec des sauts sub-gaussiens. Nous construisons d'abord un schéma de discrétisation d'Euler avec des pas de temps décroissants, particulièrement adapté aux cas où le processus de Lévy moteur est un processus de Poisson composé. Ce schéma est similaire à ceux introduits par Lamberton et Pagès dans [LP02] pour une diffusion brownienne et étendu par Panloup dans [Pan08b] à la diffusion par saut avec des sauts de Lévy. Nous obtenons une limite de concentration gaussienne non asymptotique pour la différence entre la distribution invariante et la distribution empirique calculée avec le schéma de pas de temps décroissant le long d'une fonction de test f appropriée telle que f - ν(f) est un coboundary du générateur infinitésimal.

Ce travail porte sur le comportement asymptotique de la densité en petit temps d'une équation différentielle stochastique pilotée par un processus α-stable tronqué d'indice α ∈ (0, 2). On suppose que le processus dépend d'un paramètre β = (θ, σ)T et on étudie la sensibilité de la densité par rapport à ce paramètre. Ceci étend les résultats de [E.

Cet article s'intéresse à l'inférence paramétrique pour une équation différentielle stochastique pilotée par un processus de Lévy à saut pur, à partir d'observations à haute fréquence sur une période de temps fixe. En supposant que la mesure de Lévy du processus moteur se comporte comme celle d'un processus α-stable autour de zéro, nous proposons une méthode basée sur les fonctions d'estimation qui conduit à des estimateurs asymptotiquement efficaces pour toute valeur de α ∈ (0, 2) et ne nécessite aucune hypothèse d'intégrabilité sur le processus. Les principaux théorèmes limites sont dérivés grâce à un contrôle en distance de variation totale entre la loi du processus normalisé, en petit temps, et la distribution α-stable. Cette méthode est une alternative à la méthode d'estimation par quasi-vraisemblance non gaussienne proposée par Masuda [20] où l'indice α de Blumenthal-Getoor est restreint à l'intervalle [1, 2].

Ce travail porte sur le comportement asymptotique de la densité en petit temps d'une équation différentielle stochastique pilotée par un processus α-stable d'indice α ∈ (0, 2). On suppose que le processus dépend d'un paramètre β = (θ, σ) T et on étudie la sensibilité de la densité par rapport à ce paramètre. Ceci étend les résultats de [5] qui était restreint à l'indice α ∈ (1, 2) et ne considérait que la sensibilité par rapport au coefficient de dérive. En utilisant le calcul de Malliavin, nous obtenons la représentation de la densité et de sa dérivée comme une espérance et une espérance conditionnelle. Cela permet d'analyser le comportement asymptotique en petit temps de la densité, en utilisant la propriété de remise à l'échelle du temps du processus stable. MSC2010 : 60G51. 60G52. 60H07. 60H20. 60H10. 60J75.

Ce travail porte sur la propriété de Normalité Mixte Asymptotique Locale (NMA) à partir d'observations à haute fréquence, d'un processus à temps continu solution d'une équation différentielle stochastique pilotée par un processus de Lévy à saut pur avec l'indice α ∈ (0, 2). Le processus est observé sur l'intervalle de temps fixe [0, 1] et les paramètres apparaissent à la fois dans le coefficient de dérive et le coefficient d'échelle. Ceci étend les résultats de [5] où l'indice α ∈ (1, 2) et le paramètre apparaît seulement dans le coefficient de dérive. Nous calculons l'information asymptotique de Fisher et trouvons que le taux de la propriété LAMN dépend du comportement de la mesure de Lévy au voisinage de zéro. La preuve s'appuie sur le comportement asymptotique en petit temps de la densité de transition du processus obtenu dans [6].

Il est bien connu que l'approximation de l'erreur forte dans l'espace des trajectoires continues munies de la norme du supremum entre un processus de diffusion, à coefficients lisses, et son approximation d'Euler avec pas 1/n est O(n-1/2) et que l'estimation de l'erreur faible entre les lois marginales au temps terminal T est O(n-1). Une analyse de l'erreur faible de trajectoire a été développée par Alfonsi, Jourdain et Kohatsu-Higa [Ann. Appl. Probab. 24 (2014) 1049-1080], à travers l'étude de la distance p-Wasserstein entre les deux processus. Pour une diffusion unidimensionnelle, ils ont obtenu un taux intermédiaire pour la distance de Wasserstein par chemin d'ordre n-2/3+ε. En utilisant la construction de Komlós, Major et Tusnády, nous améliorons cette borne en supposant que le coefficient de diffusion est linéaire et nous obtenons un taux d'ordre logn/n.

Il est bien connu que l'approximation de l'erreur forte, dans l'espace des chemins continus muni de la norme du supremum, entre un processus de diffusion, à coefficients lisses, et son approximation d'Euler avec pas 1/n est O(n -1/2) et que l'estimation de l'erreur faible entre les lois marginales, au temps terminal T , est O(n -1). Une analyse de l'erreur faible de trajectoire a été développée par Alfonsi, Jourdain et Kohatsu-Higa [1], à travers l'étude de la distance p-Wasserstein entre les deux processus. Pour une diffusion unidimensionnelle, ils ont obtenu un taux intermédiaire pour la distance de Wasserstein en fonction de la trajectoire d'ordre n -2/3+ε. En utilisant la construction de Komlós, Major et Tusnády, nous améliorons cette limite, en supposant que le coefficient de diffusion est linéaire, et nous obtenons un taux d'ordre log n/n. CSM 2010. 65C30, 60H35.

Le problème de l'estimation de la dérive pour la solution $X$ d'une équation différentielle stochastique avec des sauts de type L\'evy est considéré sous des observations discrètes à haute fréquence avec une fenêtre d'observation croissante. Un estimateur efficace et asymptotiquement normal pour le paramètre de dérive est construit sous des conditions minimales sur le comportement des sauts et le schéma d'échantillonnage. Dans le cas d'une densité de mesure de saut bornée, ces conditions se réduisent à $n\Delta_n^{3-\eps}\to 0,$ où $n$ est le nombre d'observations et $\Delta_n$ est le pas d'échantillonnage maximal. Ce résultat relâche la condition $n\Delta_n^2 \to 0$ habituellement requise pour l'estimation conjointe de la dérive et du coefficient de diffusion pour les EDS avec sauts. Le principal défi de ce problème d'estimation provient de l'apparition de la partie continue non observée $X^c$ dans la fonction de vraisemblance. Afin de construire l'estimateur de dérive, nous récupérons cette partie continue à partir d'observations discrètes. Plus précisément, nous estimons, de manière non paramétrique, des intégrales stochastiques par rapport à $X^c$. Des résultats de convergence d'intérêt indépendant sont prouvés pour ces estimateurs non paramétriques. Enfin, nous illustrons le comportement de notre estimateur de dérive pour un certain nombre de modèles financiers populaires basés sur le modèle de L'evy.

Nous considérons deux mouvements browniens asymétriques, pilotés par le même mouvement brownien, avec des points de départ différents et des coefficients d'asymétrie différents. Dans [13], on montre que l'évolution de la distance entre les deux processus, à l'échelle de temps locale et jusqu'à leur premier temps de frappe, satisfait une équation différentielle stochastique avec sauts. Les sauts de cette E.D.S. sont naturellement pilotés par le processus d'excursion d'une des deux motions browniennes asymétriques. Dans cet article, nous montrons que la description de la distance des deux processus après ce premier temps de frappe peut être étudiée en utilisant l'auto similarité induite par l'E.D.S. précédente. Plus précisément, nous montrons que la distance entre les deux processus dans l'échelle de temps locale peut être vue comme l'unique extension continue markovienne auto-similaire du processus décrit dans [13]. Cela nous permet de calculer la loi de la distance des deux mouvements browniens asymétriques à tout moment dans l'échelle de temps locale, lorsque les deux mouvements browniens asymétriques originaux partent de zéro. Comme produit dérivé, nous parvenons à étudier la dépendance markovienne du paramètre d'asymétrie et à répondre à une question ouverte formulée initialement par C. Burdzy et Z.Q. Chen dans [6].

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Nous considérons deux mouvements browniens obliques, pilotés par le même mouvement brownien, avec des points de départ différents et des coefficients d'obliquité différents. Dans [13], on montre que l'évolution de la distance entre les deux processus, à l'échelle de temps locale et jusqu'à leur premier temps de frappe, satisfait une équation différentielle stochastique avec sauts. Les sauts de cette E.D.S. sont naturellement pilotés par le processus d'excursion d'une des deux motions browniennes asymétriques. Dans cet article, nous montrons que la description de la distance des deux processus après ce premier temps de frappe peut être étudiée en utilisant l'auto similarité induite par l'E.D.S. précédente. Plus précisément, nous montrons que la distance entre les deux processus dans l'échelle de temps locale peut être vue comme l'unique extension continue markovienne auto-similaire du processus décrit dans [13]. Cela nous permet de calculer la loi de la distance des deux mouvements browniens asymétriques à tout moment dans l'échelle de temps locale, lorsque les deux mouvements browniens asymétriques originaux partent de zéro. Comme produit dérivé, nous parvenons à étudier la dépendance markovienne du paramètre d'asymétrie et à répondre à une question ouverte formulée initialement par C. Burdzy et Z.Q. Chen dans [6].

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Durant les dernières décennies, l'essor des moyens technologiques et particulièrement informatiques a permis l'émergence de la mise en œuvre de méthodes numériques pour l'approximation d'Equations Différentielles Stochastiques (EDS) ainsi que pour l'estimation de leurs paramètres. Cette thèse aborde ces deux aspects et s'intéresse plus spécifiquement à l'efficacité de ces méthodes. La première partie sera consacrée à l'approximation d'EDS par schéma numérique tandis que la deuxième partie traite l'estimation de paramètres. Dans un premier temps, nous étudions des schémas d'approximation pour les EDSs. On suppose que ces schémas sont définis sur une grille de temps de taille $n$. On dira que le schéma $X^n$ converge faiblement vers la diffusion $X$ avec ordre $h in mathbb{N}$ si pour tout $T>0$, $vert mathbb{E}[f(X_T)-f(X_T^n)] vertleqslant C_f /n^h$. Jusqu'à maintenant, sauf dans certains cas particulier (schémas d'Euler et de Ninomiya Victoir), les recherches sur le sujet imposent que $C_f$ dépende de la norme infini de $f$ mais aussi de ses dérivées. En d'autres termes $C_f =C sum_{vert alpha vert leqslant q} Vert partial_{alpha} f Vert_{ infty}$. Notre objectif est de montrer que si le schéma converge faiblement avec ordre $h$ pour un tel $C_f$, alors, sous des hypothèses de non dégénérescence et de régularité des coefficients, on peut obtenir le même résultat avec $C_f=C Vert f Vert_{infty}$. Ainsi, on prouve qu'il est possible d'estimer $mathbb{E}[f(X_T)]$ pour $f$ mesurable et bornée. On dit alors que le schéma converge en variation totale vers la diffusion avec ordre $h$. On prouve aussi qu'il est possible d'approximer la densité de $X_T$ et ses dérivées par celle $X_T^n$. Afin d'obtenir ce résultat, nous emploierons une méthode de calcul de Malliavin adaptatif basée sur les variables aléatoires utilisées dans le schéma. L'intérêt de notre approche repose sur le fait que l'on ne traite pas le cas d'un schéma particulier. Ainsi notre résultat s'applique aussi bien aux schémas d'Euler ($h=1$) que de Ninomiya Victoir ($h=2$) mais aussi à un ensemble générique de schémas. De plus les variables aléatoires utilisées dans le schéma n'ont pas de lois de probabilité imposées mais appartiennent à un ensemble de lois ce qui conduit à considérer notre résultat comme un principe d'invariance. On illustrera également ce résultat dans le cas d'un schéma d'ordre 3 pour les EDSs unidimensionnelles. La deuxième partie de cette thèse traite le sujet de l'estimation des paramètres d'une EDS. Ici, on va se placer dans le cas particulier de l'Estimateur du Maximum de Vraisemblance (EMV) des paramètres qui apparaissent dans le modèle matriciel de Wishart. Ce processus est la version multi-dimensionnelle du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR) et a pour particularité la présence de la fonction racine carrée dans le coefficient de diffusion. Ainsi ce modèle permet de généraliser le modèle d'Heston au cas d'une covariance locale. Dans cette thèse nous construisons l'EMV des paramètres du Wishart. On donne également la vitesse de convergence et la loi limite pour le cas ergodique ainsi que pour certains cas non ergodiques. Afin de prouver ces convergences, nous emploierons diverses méthodes, en l'occurrence : les théorèmes ergodiques, des méthodes de changement de temps, ou l'étude de la transformée de Laplace jointe du Wishart et de sa moyenne. De plus, dans dernière cette étude, on étend le domaine de définition de cette transformée jointe.

Nous considérons une marche aléatoire sous-ballistique unidimensionnelle évoluant dans un environnement aléatoire i.i.d. paramétrique. Nous étudions les propriétés asymptotiques de l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) du paramètre basé sur une seule observation de la marche jusqu'au moment où elle atteint un site distant. Dans ce but, nous adaptons la méthode développée dans le cas balistique par Comets et al (2014) et Falconnet, Loukianova et Matias (2014). En utilisant une hypothèse supplémentaire due à la spécificité du régime sub-balistique, nous prouvons la cohérence et la normalité asymptotique lorsque le site distant tend vers l'infini. Pour mettre en évidence le rôle de l'hypothèse supplémentaire, nous étudions le modèle de Temkin avec un support inconnu, et il s'avère que la MLE est cohérente mais, contrairement au régime balistique, l'information de Fisher est infinie. Nous explorons également les performances numériques de notre procédure d'estimation.

Nous étudions le problème de l'estimation efficace des sauts pour les processus stochastiques. Nous supposons que le processus de saut stochastique $(X_t)_{t \in [0,1]}$ est observé discrètement, avec un pas d'échantillonnage de taille $1/n$. Dans l'esprit du théorème de convolution de Hajek, nous montrons quelques limites inférieures pour l'erreur d'estimation de la séquence des sauts $(\Delta X_{T_k})_k$. Comme résultat intermédiaire, nous prouvons une propriété LAMN, avec un taux $\sqrt{n}$, lorsque les marques de la composante de saut sous-jacente sont déterministes. Nous déduisons ensuite un théorème de convolution, avec une variance minimale asymptotique explicite, dans le cas où les marques de la composante de saut sont aléatoires. Pour prouver que cette borne inférieure est optimale, nous montrons qu'un estimateur à seuil de la séquence de sauts $(\Delta X_{T_k})_k$ basé sur les observations discrètes, atteint la variance minimale du théorème de convolution précédent.

Nous prouvons la propriété de normalité mixte asymptotique locale à partir d'observations à haute fréquence, d'un processus en temps continu solution d'une équation différentielle stochastique pilotée par un processus de Lévy à saut pur. Le processus est observé sur l'intervalle de temps fixe [0,1] et le paramètre apparaît uniquement dans le coefficient de dérive. Nous calculons l'information asymptotique de Fisher et trouvons que le taux de la propriété LAMN dépend du comportement de la mesure de Lévy près de zéro. La preuve de ce résultat contient une étude fine du comportement asymptotique, en petit temps, de la densité de probabilité de transition du processus et de sa dérivée logarithmique.

Cet article propose une approche générale pour obtenir des limites inférieures asymptotiques pour l'estimation de fonctions aléatoires. Le résultat principal est un théorème de convolution abstrait dans un cadre non paramétrique, basé sur une propriété LAMN associée. Ce résultat est ensuite appliqué à l'estimation de la volatilité intégrée, ou de quantités connexes, d'un processus de diffusion, lorsque le coefficient de diffusion dépend d'un mouvement brownien indépendant.

Cet article propose une approche générale pour obtenir des limites inférieures asymptotiques pour l'estimation de fonctions aléatoires. Le résultat principal est un théorème de convolution abstrait dans un cadre non paramétrique, basé sur une propriété LAMN associée. Ce résultat est ensuite appliqué à l'estimation de la volatilité intégrée, ou de quantités connexes, d'un processus de diffusion, lorsque le coefficient de diffusion dépend d'un mouvement brownien indépendant.

Cette these traite de l'estimation parametrique des coefficients de derive et de diffusion d'un processus de diffusion lorsque l'on observe une fonctionnelle de la trajectoire, et non la trajectoire elle-meme. La premiere partie de la these est consacree au cas ou nous observons l'integrale de la trajectoire sur des intervalles de temps consecutifs. Nous nous interessons au cas ou ces intervalles de temps sont de longueurs fixes et au cas ou leur longueur tend vers 0. Nous exhibons dans ces deux cas des contrastes explicites qui conduisent a des estimateurs asymptotiquements gaussiens, aises a mettre en uvre en pratique. La seconde partie est consacree aux modeles a volatilite stochastique. On considere un processus bi-dimensionnel, dont on n'observe que la premiere coordonnee. Celle ci a pour coefficient de diffusion la diffusion cachee dont les parametres inconnus sont a estimer. Nous construisons des estimateurs explicites de tous les parametres de la diffusion cachee et determinons leurs vitesses de convergence et lois asymptotiques. Tout au long de la these, nous illustrons nos resultats par des simulations numeriques sur des modeles couramment utilises en finance.