Estimation adaptative de la densité invariante pour les processus de diffusion à saut ergodique sur des classes anisotropes.

Résumé Nous considérons la solution X = (Xt) t≥0 d'une équation différentielle stochastique multivariée avec des sauts de type Lévy et avec une mesure de probabilité invariante unique de densité µ. Nous supposons qu'un enregistrement continu d'observations X T = (Xt) 0≤t≤T est disponible. Dans le cas sans sauts, Reiss et Dalalyan (2007) et Strauch (2018) ont trouvé des taux de convergence des estimateurs de densité invariante, sous des contraintes de lissage de Hölder respectivement isotrope et anisotrope, qui sont considérablement plus rapides que ceux connus de l'estimation de densité multivariée standard. Nous étendons les travaux précédents en obtenant, en présence de sauts, des estimateurs qui ont les mêmes taux de convergence qu'ils avaient dans le cas sans sauts pour d ≥ 2 et un taux qui dépend du degré des sauts dans le cadre unidimensionnel. Nous proposons en outre une procédure de sélection de largeur de bande basée sur la méthode de Goldensh-luger et Lepski (2011) qui nous conduit à un estimateur à noyau non paramétrique adaptatif de la densité stationnaire µ de la diffusion par sauts X. Sélection de largeur de bande adaptative, estimation de densité anisotrope, diffusion ergodique avec sauts, EDS pilotée par Lévy.