Taux d'estimation de la distribution stationnaire des systèmes hamiltoniens à amortissement stochastique avec observations continues.

Résumé Nous étudions le problème de l'estimation non paramétrique pour la densité π de la distribution stationnaire d'un système hamiltonien stochastique bidimensionnel amortissant (Z_t) t∈[0,T ] = (X_t, Y_t) t∈[0,T ]. A partir de l'observation continue du chemin d'échantillonnage sur [0, T ], nous étudions le taux d'estimation de π(x_0 , y_0) en tant que T → ∞. Nous montrons que les estimateurs à base de noyaux peuvent atteindre le taux T^{-v} pour un certain exposant explicite v ∈ (0, 1/2). Une constatation est que le taux d'estimation dépend de la régularité de π et est complètement différent du taux apparaissant dans le cadre standard i.i.d. ou dans le cas de processus de diffusion non dégénérés à deux dimensions. En particulier, ce taux dépend aussi de y 0. De plus, nous obtenons une borne inférieure minimax sur le risque L 2- pour l'estimation ponctuelle, avec le même taux T^{-v}, jusqu'à des termes log(T).