Filtrage par saut et estimation efficace de la dérive pour les sde pilotés par Lévy.

Résumé Le problème de l'estimation de la dérive pour la solution $X$ d'une équation différentielle stochastique avec des sauts de type L\'evy est considéré sous des observations discrètes à haute fréquence avec une fenêtre d'observation croissante. Un estimateur efficace et asymptotiquement normal pour le paramètre de dérive est construit sous des conditions minimales sur le comportement des sauts et le schéma d'échantillonnage. Dans le cas d'une densité de mesure de saut bornée, ces conditions se réduisent à $n\Delta_n^{3-\eps}\to 0,$ où $n$ est le nombre d'observations et $\Delta_n$ est le pas d'échantillonnage maximal. Ce résultat relâche la condition $n\Delta_n^2 \to 0$ habituellement requise pour l'estimation conjointe de la dérive et du coefficient de diffusion pour les EDS avec sauts. Le principal défi de ce problème d'estimation provient de l'apparition de la partie continue non observée $X^c$ dans la fonction de vraisemblance. Afin de construire l'estimateur de dérive, nous récupérons cette partie continue à partir d'observations discrètes. Plus précisément, nous estimons, de manière non paramétrique, des intégrales stochastiques par rapport à $X^c$. Des résultats de convergence d'intérêt indépendant sont prouvés pour ces estimateurs non paramétriques. Enfin, nous illustrons le comportement de notre estimateur de dérive pour un certain nombre de modèles financiers populaires basés sur le modèle de L'evy.