Lois de conservation scalaires avec flux rugueux (stochastiques) : le cas spatialement dépendant.

Résumé Nous poursuivons le développement de la théorie des solutions d'entropie stochastique par chemin pour les lois de conservation scalaires dans $\R^N$ avec une dépendance quasilinéaire multiplicative du "chemin rugueux" en considérant des flux inhomogènes et un seul chemin rugueux comme, par exemple, un mouvement brownien. Suite à notre note précédente où nous avons considéré des flux spatialement indépendants, nous introduisons la notion de solutions d'entropie stochastique par chemin et prouvons qu'elle est bien posée, c'est-à-dire que nous établissons l'existence, l'unicité et la dépendance continue sous la forme d'une contraction (par chemin) de $L^1$. Notre approche est motivée par la théorie des solutions de viscosité stochastique, qui a été introduite et développée par deux des auteurs, pour étudier les pde stochastiques du premier et du second ordre entièrement non linéaires avec un bruit multiplicatif. Cette théorie repose sur des fonctions de test spéciales construites en inversant localement le flux des caractéristiques stochastiques. Pour les lois de conservation, ceci est mieux mis en œuvre au niveau de la formulation cinétique que nous suivons ici.