LIONS Pierre Louis

Nous considérons une classe de problèmes de contrôle optimal stochastique en boucle fermée dans un horizon temporel fini, dans lesquels le coût est une espérance conditionnelle au fait que le processus n'est pas sorti d'un domaine borné donné. Une difficulté importante est que la probabilité de l'événement qui conditionne la stratégie décroît avec la croissance du temps. Les conditions d'optimalité consistent en un système d'équations aux dérivées partielles, comprenant une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman (en arrière par rapport au temps) et une équation de Fokker-Planck (en avant par rapport au temps) pour la loi du processus conditionné. Les deux équations sont complétées par des conditions de Dirichlet. Ensuite, nous discutons du comportement asymptotique lorsque l'horizon temporel tend vers`8. Ceci conduit à un nouveau type de problème de contrôle optimal piloté par un problème de valeur propre lié à une équation de continuité avec des conditions de Dirichlet sur la frontière. Nous prouvons l'existence de cette dernière. Nous proposons également des méthodes numériques et complétons les différents aspects théoriques par des simulations numériques.

Cet article présente une nouvelle approche pour caractériser la dynamique du spectre limite de grandes matrices aléatoires. Cette approche est basée sur la notion que nous appelons "dominance spectrale". En particulier, nous montrons que la mesure spectrale limite peut être déterminée comme la dérivée de l'unique solution de viscosité d'une équation intégro-différentielle partielle. Cela permet également de faire des preuves générales et "courtes" pour le problème de convergence. Nous traitons les cas des mouvements browniens de Dyson, des processus de Wishart et présentons une classe générale de modèles pour lesquels cette caractérisation est valable.

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Il s'agit d'un travail en cours. L'objectif est de proposer un mécanisme plausible pour la dynamique à court terme du marché pétrolier basé sur l'interaction des agents économiques. Il s'agit d'une recherche théorique qui ne vise en aucun cas à décrire tous les aspects du marché pétrolier. En particulier, nous utilisons les outils et la terminologie de la théorie des jeux, mais nous ne prétendons pas que ce jeu existe réellement dans le monde réel. En parallèle, nous étudions et calibrons actuellement un modèle à long terme pour l'industrie pétrolière, qui traite des interactions entre un monopole et une frange concurrentielle de petits producteurs. Il fait l'objet d'un autre article qui sera bientôt disponible. La présente version préliminaire ne contient pas tous les arguments économiques et toutes les connexions avec notre modèle à long terme. Elle traite principalement de la description du modèle, des équations et des simulations numériques axées sur la dynamique à court terme de l'industrie pétrolière. Une version plus complète sera bientôt disponible.

Nous présentons des résultats d'existence, de régularité et d'unicité des solutions de l'équation maîtresse associée au problème de planification du champ moyen dans le cas d'un espace d'état fini, en présence d'un bruit commun. Les résultats sont valables sous des hypothèses de monotonicité, qui sont utilisées de manière cruciale dans les différentes preuves de l'article. Nous établissons également un lien avec les trajectoires induites par la solution de l'équation maîtresse et entamons une discussion sur le cas des conditions aux limites.

Cette note traite d'une question de modélisation découlant de la théorie des jeux de champ moyen. Nous montrons comment modéliser les jeux de champ moyen impliquant un joueur majeur qui a un avantage stratégique, tout en autorisant uniquement des stratégies markoviennes en boucle fermée pour tous les joueurs. Nous illustrons cette propriété à travers trois exemples.

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Nous considérons une classe de problèmes de contrôle optimal stochastique en boucle fermée dans un horizon temporel fini, dans lesquels le coût est une espérance conditionnelle au fait que le processus n'est pas sorti d'un domaine borné donné. Une difficulté importante est que la probabilité de l'événement qui conditionne la stratégie décroît avec la croissance du temps. Les conditions d'optimalité consistent en un système d'équations aux dérivées partielles, comprenant une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman (en arrière par rapport au temps) et une équation de Fokker-Planck (en avant par rapport au temps) pour la loi du processus conditionné. Les deux équations sont complétées par des conditions de Dirichlet. Ensuite, nous discutons du comportement asymptotique lorsque l'horizon temporel tend vers`8. Ceci conduit à un nouveau type de problème de contrôle optimal piloté par un problème de valeur propre lié à une équation de continuité avec des conditions de Dirichlet sur la frontière. Nous prouvons l'existence de cette dernière. Nous proposons également des méthodes numériques et complétons les différents aspects théoriques par des simulations numériques.

Nous étudions dans cet article trois aspects des jeux à champ moyen. Le premier concerne le cas où la dynamique de chaque joueur dépend des stratégies des autres joueurs. Le second concerne la modélisation du " bruit " dans les modèles à espace discret et la formulation de l'équation maîtresse dans ce cas. Enfin, nous montrons comment les jeux en champ moyen se réduisent à des modèles à base d'agents lorsque le taux de préférence intertemporel va à l'infini, c'est-à-dire lorsque l'anticipation des joueurs disparaît.

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"Nous étudions l'existence et l'unicité de la solution d'équations de type parabolique à coefficients et/ou conditions initiales irréguliers. Les coefficients considérés dans l'équation appartiennent typiquement aux espaces de Lebesgue ou de Sobolev, la condition initiale peut être seulement intégrable de Lebesgue, le terme du second ordre dans l'équation peut être dégénéré. Les arguments s'appuient sur la théorie de DiPerna-Lions des solutions renormalisées des équations de transport linéaires et des équations connexes. Le lien entre les résultats sur l'équation aux dérivées partielles et le caractère bien posé de l'équation différentielle stochastique/ordinaire sous-jacente est examiné. Nous faisons notamment suite à deux articles précédents. Ces notes, rédigées conjointement par les deux auteurs, exposent le contexte des différentes questions et présentent les résultats récents obtenus par le second auteur. Elles constituent une version augmentée des conférences données au Collège de France durant l'année académique 2012-13.

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Nous faisons suite à nos travaux consacrés à la théorie de l'homogénéisation pour les équations elliptiques linéaires du second ordre dont les coefficients sont des perturbations de coefficients périodiques. Nous avons d'abord considéré les équations sous forme de divergence dans [6, 7, 8]. Nous avons ensuite montré, dans notre travail récent [9], en utilisant une stratégie de preuve légèrement différente de celle de nos travaux antérieurs, que nous pouvons également traiter l'équation -aij∂iju = f. Le présent travail est consacré aux équations d'advection-diffusion : -aij∂iju + bj∂ju = f. Nous prouvons, sous des hypothèses appropriées sur les coefficients aij, bj, 1 ≤ i, j ≤ d (typiquement qu'ils sont la somme d'une fonction périodique et d'une certaine perturbation dans L p , pour p < +∞ approprié), que l'équation admet une mesure invariante (unique) et que cette mesure peut être utilisée pour transformer le problème en un problème sous forme de divergence, se prêtant aux techniques que nous avons précédemment développées pour ce dernier cas.

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Nous montrons que le problème de la valeur initiale pour les équations de Hamilton-Jacobi avec une dépendance multiplicative du temps brut, typiquement stochastique, et des hamiltoniens convexes satisfait une vitesse de propagation finie. Nous prouvons qu'en général, l'étendue de la dépendance est limitée par un multiple de la longueur du "squelette" du chemin, c'est-à-dire un chemin linéaire par morceaux obtenu en reliant les extrema successifs du chemin original. Lorsque le chemin moteur est un mouvement brownien, nous prouvons que son squelette a presque sûrement une longueur finie. Nous discutons également de l'optimalité de l'estimation.

Cette thèse porte sur l’étude de nouveaux modèles de jeux à champ moyen. On étudie dans un premier temps des modèles d’arrêt optimal et de contrôle impulsionnel en l’absence de bruit commun. On construit pour ces modèles une notion de solution adaptée pour laquelle on prouve des résultats d’existence et d’unicité sous des hypothèses naturelles. Ensuite, on s’intéresse à plusieurs propriétés des jeux à champ moyen. On étudie la limite de ces modèles vers des modèles d’évolution pures lorsque l’anticipation des joueurs tend vers 0. On montre l’unicité des équilibres pour des systèmes fortement couples (couples par les stratégies) sous certaines hypothèses. On prouve ensuite certains résultats de régularités sur une ”master equation” qui modélise un jeu à champ moyen avec bruit commun dans un espace d’états discret. Par la suite on présente une généralisation de l’algorithme standard d’Uzawa et on l’applique à la résolution numérique de certains modèles de jeux à champ moyen, notamment d’arrêt optimal ou de contrôle impulsionnel. Enfin on présente un cas concret de jeu à champ moyen qui provient de problèmes faisant intervenir un grand nombre d’appareils connectés dans les télécommunications.

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Nous étudions dans cet article trois aspects des jeux à champ moyen. Le premier concerne le cas où la dynamique de chaque joueur dépend des stratégies des autres joueurs. Le second concerne la modélisation du " bruit " dans les modèles à espace discret et la formulation de l'équation maîtresse dans ce cas. Enfin, nous montrons comment les jeux en champ moyen se réduisent à des modèles à base d'agents lorsque le taux de préférence intertemporel va à l'infini, c'est-à-dire lorsque l'anticipation des joueurs disparaît.

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Nous montrons que le problème de la valeur initiale pour les équations de Hamilton-Jacobi avec une dépendance multiplicative du temps brut, typiquement stochastique, et des hamiltoniens convexes satisfait une vitesse de propagation finie. Nous prouvons qu'en général, l'étendue de la dépendance est limitée par un multiple de la longueur du "squelette" du chemin, c'est-à-dire un chemin linéaire par morceaux obtenu en reliant les extrema successifs du chemin original. Lorsque le chemin moteur est un mouvement brownien, nous prouvons que son squelette a presque sûrement une longueur finie. Nous discutons également de l'optimalité de l'estimation.

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La théorie des jeux à champ moyen fut introduite en 2006 par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions. Elle permet l'étude de la théorie des jeux dans certaines configurations où le nombre de joueurs est trop grand pour espérer une résolution pratique. Nous étudions la théorie des jeux à champ moyen sur les graphes en nous appuyant sur les travaux d'Olivier Guéant que nous étendrons à des formes plus générales d'Hilbertien. Nous étudierons aussi les liens qui existent entres les K-moyennes et les jeux à champ moyen ce qui permettra en principe de proposer de nouveaux algorithmes pour les K-moyennes grâce aux techniques de résolution numérique propres aux jeux à champ moyen. Enfin nous étudierons un jeu à champ moyen à savoir le problème "d'heure de début d'une réunion" en l'étendant à des situations où les agents peuvent choisir entre deux réunions. Nous étudierons de manière analytique et numérique l'existence et la multiplicité des solutions de ce problème.

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Un modèle parcimonieux à long terme est proposé pour une industrie minière. Connaissant la dynamique de la réserve globale, la stratégie de chaque unité de production consiste en un problème de contrôle optimal avec deux contrôles, d'abord le flux investi dans la prospection et la construction de nouvelles installations d'extraction, ensuite le taux de production. A son tour, la dynamique de la réserve globale dépend des stratégies individuelles des producteurs, de sorte que les modèles conduisent à un équilibre, qui est décrit par des systèmes d'équations différentielles partielles de faible dimension. La dimen-sionnalité dépend du nombre de technologies qu'un producteur minier peut choisir. Dans certains cas, les systèmes peuvent être réduits à une équation de Hamilton-Jacobi qui est dégénérée à la frontière et dont le côté droit peut exploser à la frontière. Une analyse mathématique est fournie. Ensuite, des simulations numériques pour des modèles avec une ou deux technologies sont décrites. En particulier, une calibration numérique du modèle afin de s'adapter aux données historiques est effectuée.

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Nous étudions l'existence et l'unicité des solutions de viscosité stochastique de pde stochastiques du second ordre entièrement non linéaires, éventuellement dégénérées, avec des hamiltoniens quadratiques associés à une géométrie Rie-mannienne. Les résultats sont nouveaux et étendent la classe d'équations étudiées jusqu'à présent par les deux derniers auteurs.

Cet article traite d'un modèle de marché stochastique avec coûts d'attente, pour des carnets d'ordres avec des traders hétérogènes. L'offre et la demande de liquidité déterminent la formation des prix et les traders anticipent les évolutions futures du carnet d'ordres. Le cadre naturel que nous utilisons est la théorie des jeux à champ moyen, une classe de jeux différentiels stochastiques avec un continuum de joueurs anonymes. Plusieurs sources d'hétérogénéité sont considérées, y compris la taille moyenne des ordres. Ainsi, nous sommes en mesure de considérer la coexistence des investisseurs institutionnels et des traders à haute fréquence (HFT). Nous fournissons à la fois des solutions analytiques et des expériences numériques. Les implications sur les quantités classiques sont explorées : taille du carnet d'ordres, prix, et écart effectif entre l'offre et la demande. Selon le modèle, dans les marchés où il n'y a que des investisseurs institutionnels, nous montrons l'existence de déséquilibres de liquidité inefficaces en équilibre, avec deux situations symétriques correspondant à ce que nous appelons des appels de liquidité. Dans ces situations, le prix de la transaction s'éloigne significativement du juste prix. Cependant, ce macro-phénomène disparaît dans les marchés avec à la fois des Investisseurs Institutionnels et du HFT, bien qu'une étude plus précise montre que les bénéfices de la nouvelle situation vont au HFT seulement, laissant les Investisseurs Institutionnels même avec des coûts de transaction plus élevés.

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Nous présentons une approche possible pour approximer à la fois aux échelles grossière et fine la solution d'une équation elliptique avec un coefficient oscillatoire lorsque ce coefficient consiste en une "belle" fonction, disons périodique, qui est localement perturbée. L'approche est basée sur un profil local, solution d'une équation similaire à l'équation du correcteur en homogénéisation classique. Le caractère bien posé de cette équation est exploré, dans divers paramètres fonctionnels dépendant de la localité de la perturbation. Certains problèmes connexes sont discutés.

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Le but de cet article est d'intéresser les mathématiciens à l'étude d'un certain nombre d'EDP qui apparaissent naturellement en macroéconomie. Ces EDP proviennent de modèles conçus pour étudier certaines des questions les plus importantes en économie. En même temps, elles sont très intéressantes pour les mathématiciens car leur structure est souvent assez difficile. Nous présentons un certain nombre d'exemples de ces EDP, discutons de ce que l'on sait de leurs propriétés, et listons quelques questions ouvertes pour les recherches futures.

Le but de cet article est d'intéresser les mathématiciens à l'étude d'un certain nombre d'équations aux dérivées partielles (EDP) qui apparaissent naturellement en macroéconomie. Ces EDP proviennent de modèles conçus pour étudier certaines des questions les plus importantes en économie. En même temps, elles sont très intéressantes pour les mathématiciens car leur structure est souvent assez difficile. Nous présentons un certain nombre d'exemples de ces EDP, discutons de ce que l'on sait de leurs propriétés et énumérons quelques questions ouvertes pour les recherches futures.

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Nous poursuivons le développement de la théorie des solutions d'entropie stochastique par chemin pour les lois de conservation scalaires dans $\R^N$ avec une dépendance quasilinéaire multiplicative du "chemin rugueux" en considérant des flux inhomogènes et un seul chemin rugueux comme, par exemple, un mouvement brownien. Suite à notre note précédente où nous avons considéré des flux spatialement indépendants, nous introduisons la notion de solutions d'entropie stochastique par chemin et prouvons qu'elle est bien posée, c'est-à-dire que nous établissons l'existence, l'unicité et la dépendance continue sous la forme d'une contraction (par chemin) de $L^1$. Notre approche est motivée par la théorie des solutions de viscosité stochastique, qui a été introduite et développée par deux des auteurs, pour étudier les pde stochastiques du premier et du second ordre entièrement non linéaires avec un bruit multiplicatif. Cette théorie repose sur des fonctions de test spéciales construites en inversant localement le flux des caractéristiques stochastiques. Pour les lois de conservation, ceci est mieux mis en œuvre au niveau de la formulation cinétique que nous suivons ici.

Nous étudions la moyenne en temps long, lorsque l'horizon temporel tend vers l'infini, de la solution d'un système de jeu de champ moyen avec un couplage non local. Nous montrons une convergence exponentielle vers la solution du jeu de champ moyen ergodique stationnaire associé. Les preuves reposent sur des estimations de la semi-convivialité et des propriétés de lissage du système linéarisé. La recherche qui a conduit au présent article a été partiellement soutenue par une subvention du groupe GNAMPA de l'INdA.

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Nous développons une théorie pathwise pour les lois de conservation scalaires avec une dépendance quasilinéaire multiplicative des chemins, un cas particulier étant les lois de conservation stochastiques avec une dépendance stochastique quasilinéaire. Nous introduisons la notion de solutions d'entropie stochastique pathwise, qui est fermée avec les limites uniformes locales des chemins, et prouvons qu'elle est bien posée, c'est-à-dire que nous établissons l'existence, l'unicité et la dépendance continue, sous la forme d'une contraction $L^1$ pathwise, ainsi que certaines estimations explicites. Notre approche est motivée par la théorie des solutions de viscosité stochastique, qui a été introduite et développée par deux des auteurs, pour étudier les pde stochastiques du premier et du second ordre entièrement non linéaires avec un bruit multiplicatif. Cette théorie repose sur des fonctions de test spéciales construites en inversant localement le flux des caractéristiques stochastiques. Pour les lois de conservation, ceci est mieux mis en œuvre au niveau de la formulation cinétique que nous suivons ici.

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Introduite par J. -M. Lasry et P. -L. Lions, la théorie des jeux à champ moyen simplifie les interactions entre agents économiques selon une approche inspirée des théories physiques. Des applications économiques sont présentées concernant le marché du travail, la gestion d’actifs, les problèmes de répartition de population(s), ainsi que la théorie de la croissance. Les modèles présentés utilisent la théorie des jeux à champ moyen sous des formes diverses, parfois statiques, souvent dynamiques, à espace d’états discret ou continu et dans un environnement déterministe ou stochastique. Diverses notions de stabilité sont discutées dont la notion de stabilité éductive, qui a inspiré des méthodes numériques de résolution. Nous présentons en effet des méthodes numériques qui permettent d’obtenir des solutions, tant aux problèmes stationnaires qu’aux problèmes dynamiques, en s’abstrayant de la structure forward/backward, a priori problématique d’un point de vue numérique. En marge de la théorie des jeux à champ moyen, la problématique des taux d’escompte idoines pour traiter des problèmes de développement durable est abordée. Nous discutons de la notion de taux écologique introduite par R. Guesnerie et apportons des propriétés non asymptotiques nouvelles, de continuité notamment.

Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions d'une classe d'équations aux dérivées partielles avec des coefficients fortement oscillants. Dans un premier temps, on s'intéresse à une famille d'équations non linéaires, des lois de conservation scalaires hétérogènes, qui interviennent dans divers problèmes de la mécanique des fluides ou de l'électromagnétisme non linéaire. On suppose que le flux de cette équation est périodique en espace, et que la période des oscillations tend vers zéro. On identifie alors les profils asymptotiques microscopique et macroscopique de la solution, et on démontre un résultat de convergence forte . en particulier, on montre que lorsque la condition initiale ne suit pas le profil microscopique dicté par l'équation, il se forme une couche initiale en temps durant laquelle les solutions s'adaptent à celui-ci. Dans un second temps, on considère une équation de transport linéaire, qui modélise l'évolution de la densité d'un ensemble de particules chargées dans un potentiel électrique aléatoire et très oscillant. On établit l'apparition d'oscillations microscopiques en temps et en espace dans la densité, en réponse à l'excitation par le potentiel électrique. On donne également des formules explicites pour l'opérateur de transport homogénéisé lorsque la dimension de l'espace est égale à un.

Cette thèse est consacrée aux équations différentielles ordinaires et aux équations de transport associées, pour des champs de vecteurs peu réguliers, et contient quatre travaux. Le premier traite la résolution des EDO et équations de transport pour des champs de vecteurs dans L^2(R^2) à divergence nulle, vérifiant une condition de régularité sur la direction du champ. Les résultats sont obtenus dans le cadre de la théorie développée par R. DiPerna et P. L. Lions pour la résolution des équations de transport à coefficients peu réguliers. On abaisse les conditions de régularité nécessaires dans ce cas particulier de la dimension deux. Le second travail concerne l'équation de Liouville, qui gouverne le comportement d'une densité de N particules en interaction, dans le cadre de champs peu réguliers. Les résultats de DiPerna et Lions, déjà étendus au cas cinétique par François Bouchut, sont adaptés pour permettre de prendre en compte une singularité à l'origine. Dans le troisième travail, nous nous intéressons à la convergence des systèmes de particules en interaction vers l'équation Vlasov. La convergence est obtenue grâce à des estimations discrètes précises, dans le cas de forces d'interactions en 1/|x|^alpha, pour alpha < 1. Cela améliore le résultat connu précedemment pour des forces C^1. Le quatrième utilise le même type de technique pour l'approximation d'Euler par des vortex. On y prouve la convergence pour tout temps quand l'interaction est a peine moins singulières que pour les vortex. On donne aussi des bornes uniformes sur le champ et son acrroissement dans le cas des vrais vortex.

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Dans cette thèse, nous étudions (du point de vue mathématique) quelques problèmes asymptotiques provenant de la mécanique des fluides. Ceci est motivé par des raisons d'ordre physique ainsi que numérique : les équations complètes de la physique sont souvent très compliquées et ne peuvent pas être résolues dans leur totalité, ce qui amène à considérer des modèles simplifiés qui prennent en compte les différentes échelles sur lesquelles on peut étudier le système. Ces modèles peuvent être justifiés du point de vue mathématique grâce à des théorèmes de convergence lorsqu'un petit paramètre tend vers zéro. Ceci pose des difficultés mathématiques, souvent dues au changement du type des équations, qui correspondent souvent à une réalité physique : persistance des oscillations, présence de couches limites nous étudions trois exemples qui sont respectivement le passage des équation de Navier-Stokes vers ceux d'Euler dans un domaine avec bord, la limite compressible-incompressible d'un fluide visqueux et finalement l'étude des fluides tournants à grande vitesse.

Nous étudions des équations cinétiques de la forme f/t + v. *#xf = q(f,f), t0, x ,r#n, v , r#n, qui décrivent l'évolution d'un gaz ou d'un plasma dans lequel les particules subissent des collisions modélisées par l'opérateur q, dit - de Boltzmann : q(f,f) dv#* d b(v v#*, ) (f'f'#* ff#*), - ou de Landau : q(f,f) = /v#i dv#*a#i#j(v v#*) (f#*f/v#j ff#*/v#*#,#j). Les trois premières parties de cette thèse concernent les équations homogènes (indépendantes de x) #tf = q(f,f). On insiste particulièrement sur deux points : les collisions rasantes et la dissipation d'entropie. Dans la première partie, on étudie le problème de Cauchy associé aux équations de Boltzmann et de Landau homogènes (pour des sections efficaces réalistes et éventuellement singulières), des propriétés de régularité des solutions, ainsi que l'asymptotique des collisions rasantes qui permet de passer d'une équation à l'autre. La deuxième partie est consacrée au cas particulier des molécules maxwelliennes. Sous cette hypothèse, on effectue une étude détaillée du problème de Cauchy et du retour vers l'équilibre, ainsi que des liens entre théorie cinétique et théorie de l'information. Dans la troisième partie, on utilise les résultats précédents pour obtenir des estimations explicites sur la vitesse de retour vers l'équilibre dans le cas général. Dans la quatrième partie, on obtient des résultats partiels sur le problème de Cauchy pour l'équation de Landau inhomogène, et quelques estimations nouvelles sur l'équation de Boltzmann inhomogène. Enfin, dans la cinquième partie, on établit diverses formes conservatives de l'opérateur de Boltzmann, avec application à l'asymptotique des collisions rasantes.

L'objet de cette thèse est l'analyse mathématique de modèles issus de la mécanique des fluides. L'étude est centrée principalement sur les équations de Navier-Stokes incompressibles inhomogènes et les équations de Navier-Stokes compressibles isentropiques. La première partie est consacrée aux équations différentielles ordinaires associées à des champs de vecteurs a coefficients irréguliers, typiquement à dérivées intégrables. R. J. Di Perna et P. -L. Lions ont été pionniers dans l'étude de champs de vecteurs à régularité W#1#,#1 et à divergence bornée, en montrant l'existence et l'unicité d'un flot X vérifiant la plupart des propriétés des flots de champs de vecteurs réguliers, valables cependant pour presque tout point initial. L'objet de la première partie est d'étendre cette théorie à des champs à divergence non bornée. La preuve repose sur la méthode des solutions normalisées pour les équations de transport, introduites par R. J. Di Perna et P. -L. Lions. Dans la continuité des résultats précédents, on montre d'autre part un théorème d'existence de solutions plus fortes correspondant à des données initiales dans W#1#,#m (m > 1) pour #t +b. * = 0, le champ de vecteurs b associe étant supposé de régularité Sobolev W#s#+#1#,#p avec sp = n. Ces résultats sont ensuite appliqués a une preuve d'unicité des solutions des équations de Navier-Stokes incompressibles inhomogènes en dimension 2. Dans la deuxième partie de ce travail, on s'intéresse à des modèles de fluides incompressibles. On considère une famille de fluides incompressibles non miscibles indexes par 1,. . . , m dans un ouvert de r#n (n 2). Ces fluides sont caractérisés par leur densité i#1im et leur viscosité #i#1##im. Le premier chapitre traite des questions d'existence globale de solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes incompressibles lorsque le domaine est non borné. On étudie ensuite la régularité des écoulements plans multiphasiques, en énonçant les résultats en fonction de la dispersion relative des viscosités, tout en tenant compte de l'éventuelle présence de poches de vide dans le milieu fluide. Le troisième chapitre est consacré a quelques remarques sur la régularité des solutions faibles d'une équation issue d'un modèle simplifié de magnétohydrodynamique, couplant les équations de Navier-Stokes incompressibles et les équations de maxwell. Enfin, on étudie les équations de Navier-Stokes modélisant l'évolution d'un fluide compressible isentropique. Les travaux de P. -L. Lions assurent l'existence globale en temps de solutions faibles sous certaines hypothèses sur la loi de pression. En dimension n = 2 ou 3, on peut montrer des résultats de régularité en temps petit pour des densités initiales s'annulant. Lorsque n = 2, on obtient des résultats globaux en temps, sous réserve que la densité reste bornée. On utilise pour cela une estimation logarithmique, démontrée dans le contexte des modèles incompressibles précédemment cités. Dans le second chapitre, on analyse la régularité des solutions faibles en dimension n 2, en montrant une estimation à priori qui donne des renseignements sur la régularité en temps du champ des vitesses.

Les travaux présentés dans cette thèse peuvent être regroupés en deux thèmes. 1. Le problème ergodique pour les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B). 2. Les effets régularisants pour une classe d'équations de Hamilton-Jacobi. Le problème ergodique concerne les comportements moyens en temps long de systèmes déterministes ou stochastiques contrôlés. On étudie ici les systèmes déterministes (y compris ceux définis en dimension infinie) et les équations de H-J-B correspondantes, en utilisant la théorie des solutions de viscosité. On établit tout d'abord au chapitre 2 l'ergodicité de systèmes en dimension infinie sous des hypothèses classiques en dimension finie. Puis, on s'intéresse à des conditions nécessaires ou suffisantes permettant d'assurer l'ergodicité de systèmes en dimension finie. Au chapitre 3, on prouve l'existence d'un attracteur ergodique sur lequel le système est contrôlable. Et au chapitre 4, on donne une sorte de réciproque, l'estimation de la contrôlabilité sur l'attracteur ergodique. La contrôlabilité joue également un rôle essentiel dans les effets régularisant des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. On montre au chapitre 5, trois types d'effets régularisants: régularisation lipschitzienne, régularisation semi-concave et régularisation dans c#1#,#1#l#o#c.

Nous présentons dans ce travail deux techniques mathématiques pour l'étude des équations de Hartree-Fock, l'analyse de Fourier et l'analyse par ondelettes, en essayant de montrer leurs avantages ainsi que leurs inconvénients. L'analyse de Fourier, connue depuis longtemps mais peu utilisée par les chimistes, conduit à une représentation impulsionnelle et permet de simplifier l'écriture des équations dont la résolution devient possible pour des petites structures chimiques. Notamment, les équations relatives aux molécules diatomiques, H2 et HeH+, ont pu être résolue grâce à une méthode itérative définie dans l'espace des impulsions obtenu par transformée de Fourier. L'obtention par un calcul analytique de la première itération est décrite en détail, et les améliorations, tant qualitatives que quantitatives, apportées à la fonction d'onde initiale par cette première itération sont analysées et commentées. L'analyse par ondelettes quant à elle n'a jamais été appliquée en chimie quantique. Initialement développée en traitement du signal, elle trouve ici un nouveau champ d'applications. Apres un bref rappel des bases générales de la théorie des ondelettes, la représentation des équations de Hartree-Fock dans un espace mixte position-impulsion est obtenue grâce à une transformée en ondelettes continues. Un travail d'interprétation de cette représentation est présenté, et une méthode itérative de résolution est proposée. Les améliorations apportées par une première itération analytique sont ici aussi analysées et commentées. Un autre type d'ondelettes a également été utilisé . il s'agit d'ondelettes ortho normales qui conduisent à un traitement entièrement numérique des équations de Hartree-Fock. La représentation matricielle fournie par l'algorithme BCR (Beylkin, Coifman, Rokhlin) est utilisée dans une méthode de résolution basée sur un processus itératif dont la convergence ainsi que les problèmes liés à la discrétisation des données sont étudiés plus particulièrement.

La thèse regroupe trois articles qui, tous, établissent l'existence et l'unicité de solutions de viscosité pour certaines équations aux dérivées partielles provenant de problèmes de contrôle optimal ou de modèles d'économie mathématique. La plupart de ces équations sortent du cadre classique par la présence soit d'une contrainte sur le gradient soit d'un terme intégral non linéaire. On met en outre l'accent sur la détermination d'un critère asymptotique compatible avec des résultats d'unicité. Ainsi le premier travail montre qu'il existe une unique solution minorée pour des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre, lorsque le Hamiltonien est convexe et non linéaire. Dans un second travail, on établit que la fonction valeur d'un problème de contrôle singulier (modèle d'investissement-consommation avec substitution locale) est l'unique solution de l'équation de la programmation dynamique associée, dans un ouvert non borne, avec contrainte d'état au bord. Dans le dernier travail, on s'intéresse à une classe d'équations intégro-différentielles dont la non linéarité provient essentiellement du terme intégral. La encore, l'origine de ce problème est économique puisque l'unique solution est la fonction d'utilité récursive lorsque l'incertitude est engendrée par un mouvement brownien et un processus de sauts.

Cette these regroupe un ensemble de travaux consacres a l'etude mathematique de differents modeles moleculaires utilises en chimie quantique dans les simulations numeriques. On s'interesse d'abord aux modeles de type thomas-fermi, en particulier celui de thomas-fermi-dirac-von weizsacker et celui de thomas-fermi avec correction de fermi-amaldi, puis aux modeles de type hartree-fock, comme les modeles multideterminants. Pour chaque modele, les resultats que nous prouvons concernent la compacite des suites minimisantes, l'existence d'un minimum, et ses qualites (unicite, decroissance a l'infini, non degenerescence du multiplicateur de lagrange,. . . ). On presente aussi une application numerique de ces modeles theoriques. En appendice figure un resultat de theorie des groupes.

Cette thèse regroupe un ensemble de travaux relatifs à l'étude de problèmes de minimisation qui se posent dans la modélisation par la mécanique quantique des atomes et des molécules, en physique atomique, d'une part, et des noyaux, en physique nucléaire, d'autre part. Les deux parties de cette thèse traitent successivement de ces deux types de problèmes. Dans la première partie, nous nous intéressons à l'existence d'une géométrie optimale des noyaux, pour un ion ou une molécule donnés, dans le cadre des modèles de type Thomas-Fermi, de Hartree et de Hartree-Fock. La seconde partie est consacrée à l'étude de deux familles de modèles de la physique nucléaire : des modèles de type Hartree et un modèle de Hartree-Fock avec un potentiel simplifie de type Skyrme. Dans les deux cas, les questions posées se traduisent en termes de problèmes de minimisation dans l'espace à trois dimensions, invariants par translation, par le biais d'une fonctionnelle (d'énergie) dépendant d'une ou plusieurs fonctions soumises à diverses contraintes de normalisation. La perte de compacité des suites minimisantes, liée à l'invariance par translation, est analysée par la méthode de concentration-compacité.

Nous appliquons la théorie des solutions de viscosité due à Michael Grain Crandall et Pierre-Louis Lions, à la résolution numérique de deux équations aux dérivées partielles non linéaires. La première partie est consacrée à l'étude de l'équation de Horn, qui modélise le problème shape-from-shading. Il s'agit de la reconstruction d'une surface éclairée par des sources lumineuses, à partir d'une seule photographie codée au niveau de gris. La théorie des solutions de viscosité nous fournit un cadre dans lequel le problème est mathématiquement bien posé: on démontre l'unicité de la solution de viscosité de l'équation de Horn vérifiant des conditions aux bords appropriées. Puis, pour calculer une approximation du premier ordre de la solution de viscosité, on construit un schéma aux différences finies, monotone, obtenu par discrétisation du principe de la programmation dynamique, du à Bellman. Dans la deuxième partie, on propose un schéma aux différences finies qui calcule une approximation de l'unique solution de viscosité de l'inéquation variationnelle qui modélise le problème de contrôle stochastique: gestion de portefeuille avec coûts de transaction. L'algorithme permet non seulement le calcul d'une approximation de la fonction valeur mais également la recherche des frontières libres qui délimitent la région dans laquelle aucune transaction n'est effectuée.

On montre une analogie, induite par un morphisme algébrique, entre la programmation dynamique et les probabilités. On développe l'analyse d'une théorie des probabilités dans un dioide, dans laquelle nous montrons des résultats remarquables qui correspondent au cas usuel. par exemple: la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale en programmation dynamique. Les entités de la programmation dynamique sont donc, en un certain sens, linéaires.

Cette thèse concerne l'approximation numérique des solutions de viscosité, telles qu'elles ont été définies par Michael Grain Crandall et Pierre-Louis Lions, des équations Hamilton-Jacobi du premier ordre qui sont des équations aux dérivées partielles non linéaires, ainsi que l'étude d'un exemple issu du traitement d'images, le shape-from-shading, qui consiste en la reconstruction d'un relief à trois dimensions à partir de la donnée d'une image en deux dimensions, d'une photographie par exemple. Le premier chapitre est une présentation succincte des solutions de viscosité des équations d’Hamilton-Jacobi et de quelques résultats d'existence et d'unicité. Le second chapitre décrit les différentes méthodes développées pour approcher ces solutions, et relève de l'analyse numérique. Le troisième chapitre, plus appliqué, a pour but d'expliquer comment, concrètement, on peut écrire un schéma d'approximation des solutions de viscosité. Enfin, l'exemple est étudié de façon précise (en reprenant les différents développements des premiers chapitres de la thèse): on montre comment le relief peut être interprété comme la solution de viscosité d'une équation d’Hamilton-Jacobi. on étudie les différentes formalisations possibles pour les bords de l'image afin de parvenir à des résultats d'existence et d'unicité satisfaisants. Puis un schéma est construit et applique à la reconstruction numérique de différentes images.

Les travaux présentés ici portent sur deux sujets distincts: dans la première partie, nous traitons de deux méthodes de décomposition de domaine inspirées de la méthode de Schwarz, sur des sous-domaines sans recouvrement, pour des problèmes elliptiques généraux. Ces méthodes sont basées sur la résolution alternative de sous-problèmes sur les sous-domaines, avec des conditions aux limites mixtes sur les interfaces, de Robin pour la première méthode, tandis que pour la seconde, nous introduisons un opérateur agissant sur le terme de trace. Nous démontrons la convergence de ces deux méthodes appliquées à des problèmes continus, et établissons qu'elles peuvent être interprétées comme des méthodes de Peaceman-Rachford. Apres une brève étude spectrale, nous proposons des résultats généraux de convergence dans le cadre des approximations par différences finies. Nous les comparons ensuite à ceux d'expériences numériques. La seconde méthode, que nous pouvons interpréter comme une version preconditionnée de la première, est plus performante du point de vue continu, pour lequel nous démontrons la convergence géométrique, et du point de vue discret, pour lequel nous établissons que la convergence est indépendante du pas de discrétisation. Dans la seconde partie, nous étudions un problème d'initiation de la détonique à l'échelle moléculaire, modélisée par un système quantique monodimensionnel perturbé par une onde de choc de potentiel. Notre but est de prédire l'état énergétique final du système. Nous proposons l'intégration numérique directe par une méthode de Runge-Kutta de l'équation de Schrodinger vérifiée par la fonction d'onde du système décomposé sur la base des états propres. Nous validons la méthode pour de petites valeurs du potentiel excitateur, et menons quelques expériences numériques. De l'analyse des performances nous déduisons que cette méthode n'est pas assez performante pour être généralisée à des modèles tridimensionnels, mais peut servir de moyen de validation.

Les travaux rassemblés dans cette thèse sont relatifs au traitement mathématique de deux sujets distincts de la physique mathématique. Dans la partie A : problèmes de minimisation en physique de la matière hadronique, on trouve des résultats concernant des modèles variationnels utilisés en physique nucléaire pour décrire l'interaction forte dans la limite de basse énergie. On traite de l'existence de solutions réalisant l'infimum de l'énergie avec une contrainte de type degré topologique pour différents modèles du type modèle de Skyrme, en insistant sur le choix d'espaces fonctionnels appropriés. On utilise la méthode de concentration-compacité (à cause des défauts de compacité dus à l'invariance par translation), et différentes techniques d'analyse fonctionnelle. On étudie ensuite un modèle avec couplage non local, le modèle d'Adkins et Nappi, dans le cadre de l'ansatz de Skyrme, en utilisant en particulier le comportement local des solutions des équations d'Euler-Lagrange. Dans la partie B: équations cinétiques sont abordés plusieurs modèles décrivant des gaz raréfiés ou des plasmas. On commence par étudier une équation de Boltzmann modifiée pour prendre en compte les corrections quantiques pour un gaz de fermions (existence, unicité, quantités conservées, théorème h, convergence à la limite classique vers l'équation de Boltzmann ordinaire, solutions asymptotiques en temps grand et solutions stationnaires). On étudie ensuite les solutions maxwelliennes stationnaires du système de Vlasov-Poisson représentant des particules chargées soumises au champ moyen créé par leur distribution de charges et à un champ électrostatique extérieur assurant leur confinement (existence et unicité dans les espaces de Marcinkiewicz). On aborde dans le dernier chapitre la convergence vers les états asymptotiques en temps grand pour le système de Vlasov-Poisson-Boltzmann et l'étude des solutions stationnaires correspondantes dans le cas où la masse et l'énergie sont conservées.

La première partie présente en détail la réalisation pratique d'un simple pendule inverse et l'étude de faisabilité d'un double pendule inverse en utilisant la théorie du contrôle stochastique linéaire. L'originalité de ces pendules est le choix d'un matériel bas de gamme, associée à une programmation assembleur assez complexe, multi-tâche et temps réel. La puissance des moteurs étant limitée, les essais sur le pendule simple montrent que la difficulté réside dans la contrainte sur le contrôle. Après une étude générale des rétroactions minimisant la norme du contrôle, sur l'ensemble des commandes stables, l'étude du système stochastique global permet d'estimer l'accélération minimale nécessaire pour le double pendule et de conclure à la non-faisabilité. La deuxième partie présente l'étude théorique et numérique d'un jeu de poursuite, plus précisément la résolution de l'équation d'Isaacs de ce jeu différentiel, grâce à la notion de solution de viscosité. Il s'agit de plus d'un jeu modélisant une poursuite dans un domaine donné, c'est-à-dire avec des contraintes sur le bord du domaine. Les fonctions valeur de ce jeu vérifient la programmation dynamique, sont continues, et sont solutions de viscosité de la même équation d'Isaacs. Cette équation avec conditions aux limites à une unique solution de viscosité. Les schémas monotones, à forme différentielle, et consistants avec l'équation, permettent d'approximer les solutions. les codes numériques fournissent alors la fonction valeur du jeu et donc les trajectoires optimales pour une condition initiale quelconque.

Ce travail étudie certaines propriétés mathématiques de différents modèles issus de la physique atomique d'une part, de l'électrodynamique des milieux continus non linéaires d'autre part.