Analyse de modèles de la physique mathématique.

Résumé Les travaux rassemblés dans cette thèse sont relatifs au traitement mathématique de deux sujets distincts de la physique mathématique. Dans la partie A : problèmes de minimisation en physique de la matière hadronique, on trouve des résultats concernant des modèles variationnels utilisés en physique nucléaire pour décrire l'interaction forte dans la limite de basse énergie. On traite de l'existence de solutions réalisant l'infimum de l'énergie avec une contrainte de type degré topologique pour différents modèles du type modèle de Skyrme, en insistant sur le choix d'espaces fonctionnels appropriés. On utilise la méthode de concentration-compacité (à cause des défauts de compacité dus à l'invariance par translation), et différentes techniques d'analyse fonctionnelle. On étudie ensuite un modèle avec couplage non local, le modèle d'Adkins et Nappi, dans le cadre de l'ansatz de Skyrme, en utilisant en particulier le comportement local des solutions des équations d'Euler-Lagrange. Dans la partie B: équations cinétiques sont abordés plusieurs modèles décrivant des gaz raréfiés ou des plasmas. On commence par étudier une équation de Boltzmann modifiée pour prendre en compte les corrections quantiques pour un gaz de fermions (existence, unicité, quantités conservées, théorème h, convergence à la limite classique vers l'équation de Boltzmann ordinaire, solutions asymptotiques en temps grand et solutions stationnaires). On étudie ensuite les solutions maxwelliennes stationnaires du système de Vlasov-Poisson représentant des particules chargées soumises au champ moyen créé par leur distribution de charges et à un champ électrostatique extérieur assurant leur confinement (existence et unicité dans les espaces de Marcinkiewicz). On aborde dans le dernier chapitre la convergence vers les états asymptotiques en temps grand pour le système de Vlasov-Poisson-Boltzmann et l'étude des solutions stationnaires correspondantes dans le cas où la masse et l'énergie sont conservées.